(x4 + 13·x2 - 30·x + 16)/(x4 - 2·x2 + 1)
Um zu Faktorisieren untersuchen wir den Zähler und Nenner getrennt auf Nullstellen.
x4 + 13·x2 - 30·x + 16 = 0
Wir suchen und finden eine Nullstele bei 1 und machen eine Polynomdivision
(x4 + 13·x2 - 30·x + 16) / (x - 1) = x3 + x2 + 14·x - 16
Wir suchen und finden erneut eine Nullstele bei 1 und machen eine Polynomdivision
(x3 + x2 + 14·x - 16) / (x - 1) = x2 + 2·x + 16
Hier gibt es keine weiteren Nullstellen mehr. Damit lautet der Zähler Faktorisiert
x4 + 13·x2 - 30·x + 16 = (x - 1)2·(x2 + 2·x + 16)
Nun untersucht man den Nenner
x4 - 2·x2 + 1 = 0
Wir erkennen die 2. binomische Formel
(x2 - 1)2 = 0
Nun erkennt man noch die 3. binomische Formel
((x + 1)(x - 1))2 = 0
Damit lautet die Faktorzerlegung des Nenners
x4 - 2·x2 + 1 = (x + 1)2·(x - 1)2
Unser Bruch lautet also
(x4 + 13·x2 - 30·x + 16)/(x4 - 2·x2 + 1)
= (x - 1)2·(x2 + 2·x + 16) / ((x + 1)2·(x - 1)2)
Man kürzt (x - 1)2 und erhält
= (x2 + 2·x + 16) / (x + 1)2
Damit sind wir fertig.
