Für welche ganze Funktionen gilt: |f(z)| <= |z| +1

Question

Frage steht bereits im Titel. Hier noch einmal:

Für welche ganze Funktionen f: C -> C gilt:
|f(z)|<= |z| +1

Meine Überlegung. Satz von Schwarz besagt:
|f(z)|<= |z|

Aber den Satz kann man nur für Funktionen von B₁(0) -> B₁(0) anwenden soweit ich weiß.

Hat jemand Ideen?

Comments

Was genau sind "ganze Funktionen f: C -> C" ? 

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Ganze Funktionen sind auf ganz \(\mathbb{C}\) definiert und ueberall holomorph.

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Das erste was mir dazu einfällt ist der Satz von Liouville. Google einfach mal danach. Vielleicht hilft dir das weiter.

Answer 1

Eine leicht zu beweisende Verschaerfung des Satzes von Liouville besagt: Gibt es ein \(n\in\mathbb{N}\) und positive Konstanten \(R\), \(M\), so dass \(f(z)\le M|z|^n\) für \(|z|>R\) gilt, dann ist \(f\) ein Polynom vom Grade \({}\le n\).

Damit muss schon mal \(f\) von der Form \(f(z)=az+b\) sein. Bestimme dann alle moeglichen \(a\) und \(b\).

Comments

Vielleicht schon etwas her,aber ich habe die selbe Aufgabe mit einer Erweiterung erhalten:

Für welche ganze Funktionen gilt: 1/(|z|+1) <= |f(z)| <= |z| +1

Wenn es für alle z gelten soll, dann auch für z = 0 :
1 <= |f(0)| <= 1

Also folgt aus:
f(z) = az+b
f(0) = b
|b| = 1


Ich weiß leider nicht weiter, wie ich a bestimmen kann.

Answer 2

|f(z)|<= |z| +1

Ich weiß nicht ob ich Frage richtig verstehe.

f ( z ) = -0.5
g ( z ) = |z| + 1

~plot~ abs( -0.5 ) ;  abs(x) + 1 ~plot~

Comments

Und was hat das mit der Frage zu tun?

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ich schrieb bereits
Ich weiß nicht ob ich Frage richtig verstehe.

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Und warum nicht als Kommentar?

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Spielt das irgendeine Rolle ob mein Beitrag unter Kommentar
oder Antwort zu finden ist ?