Wie berechnet man die Lösungsmenge von komplexen Gleichungen? Bsp. z^2=-2sqrt(3)+2i

Question

Ich hätte da jetzt die Gleichung z^2=-2sqrt(3)+2i aber habe jetzt keine Ahnung wie ich die Lösungsmenge davon ausrechnen sollte. ich weiß zwar, dass es zwei Lösungen geben müsste, weiß nur nicht wie ich diese ausrechne. Hilfe mit klaren Rechenweg wäre sehr hilfreich

Comments

Achtung: Man kann die Lösungsmenge einer komplexen Gleichung bestimmen.

Komplexe Zahlen kann man genauso wenig "lösen", wie reelle Zahlen.

Ich habe daher mal die Überschrift angepasst.

Answer 1

Schau es Dir an:

Answer 2

Wie berechnet man die Vektorlänge einer komplexen Zahl a + bi ?

Wie berechnet man den Winkel einer komplexen Zahl

https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Umrechnungsformeln

Wir wenden das mal an

z^2 = - 2·√3 + 2·i

|z^2| = √(Re(z^2)^2 + Im(z^2)^2) = √((-2·√3)^2 + (2)^2) = √((2·√3)^2 + (2)^2) = √(12 + 4) = 4

arg(z^2) = arccos(Re(z^2)/|z^2|) = arccos((- 2·√3)/4) = arccos(- √3/2) = 5/6·pi

Damit können wir z^2 auch schreiben als z^2 = 4·e^{i·5/6·pi}

Was macht man nun um die Wurzel zu ziehen. Man zieht die Wurzel aus dem Betrag und halbiert den Winkel

|z| = √4 = 2

arg(z) = 1/2 · 5/6·pi = 5/12·pi

Nun gibt es noch eine weitere Lösung die sich im Winkel um 180° = pi unterscheidet.

|z| = √4 = 2

arg(z) = 1/2 · 5/6·pi + pi = 5/12·pi + pi = 17/12·pi

Entweder lässt man das jetzt in der e-Form stehen

z1 = 2·e^{i·5/12·pi}

z2 = 2·e^{i·17/12·pi}

Oder man formt das wieder in die algebraische Form um

z1 = 2·e^{i·5/12·pi} = 2·(COS(5/12·pi) + i·SIN(5/12·pi)) = 0.518 + 1.932·i

z2 = 2·e^{i·17/12·pi} = 2·(COS(17/12·pi) + i·SIN(17/12·pi)) = - 0.518 - 1.932·i

Answer 3

Hi, man kann die Lösungen auch über einen Koeffizientenvergleich bekommen. Das ist in diesem Falle sogar weniger aufwändig als die anderen Wege. Ich habe nach wenigen Zeilen Rechnung dies hier heraus:

$$ z^2 = -2 \cdot \sqrt{3}+2\text{i} \quad \Leftrightarrow\\\,\\z = +\sqrt {2-\sqrt { 3 } } + \frac { \text{i} }{ \sqrt {2-\sqrt { 3 } } } \quad\lor\quad -\sqrt {2-\sqrt { 3 } } - \frac { \text{i} }{ \sqrt {2-\sqrt { 3 } } }. $$