Oberflächenintegral? Parametrisierung x(u,v) = ( u*cos(v), u*sin(v), c*v)

Question

Bestimmen Sie schrittweise den Wert des Oberflächenintegrals

$$\int _{ F }^{  }{ \begin{matrix} y \\ z \\ x \end{matrix}\quad dO } $$

für die Fläche F, die gegeben ist durch die folgende Parametrisierung x

$$x(u,v)\quad =\quad \begin{matrix} u*\cos { (v) }  \\ u*sin(v) \\ c*v \end{matrix}$$

mit 0≤a≤u≤b und 0≤v≤2π für c>0.

Comments

Ein Vorschlag eines eventuellen Ansatzes, für den ich nicht meinen Fuß ins Wasser stellen möchte - und schon gar nicht die Hand ins Feuer legen :

$$ X(u,v)\quad =\quad \begin{matrix} u \cdot \cos { (v) }  \\ u \cdot \sin(v) \\ \zeta  \cdot v \end{matrix} $$
$$ \int_0^\pi \, \int_a^b \, X(u,v)\, du\, dv \quad = \int_0^\pi \, \quad \left[   \begin{matrix} \frac 12 u^2 \cdot \cos { (v) }  \\ \frac 12 u^2 \cdot \sin(v) \\ u \cdot \zeta \cdot v \end{matrix}\right]_a^b \, dv$$
$$= \int_0^\pi \, \quad \left[   \begin{matrix} \frac 12 (b^2-a^2) \cdot \cos { (v) }  \\ \frac 12 (b^2-a^2) \cdot \sin(v) \\ (b-a) \cdot \zeta \cdot v \end{matrix}\right] \, dv$$
$$= \, \quad \left[   \begin{matrix} -\frac 12 (b^2-a^2) \cdot \sin { (v) }  \\ \frac 12 (b^2-a^2) \cdot \cos(v) \\ (b-a) \cdot \zeta \cdot \frac 12 v^2 \end{matrix}\right]_0^\pi \,= \, \quad \left[   \begin{matrix} -\frac 12 (b^2-a^2) \cdot \sin { (\pi -0) }  \\ \frac 12 (b^2-a^2) \cdot \cos(\pi -0) \\ (b-a) \cdot \zeta \cdot \frac 12 (\pi^2 -0^2) \end{matrix}\right] \,$$
$$= \, \quad \left[   \begin{matrix} -\frac 12 (b^2-a^2) \cdot 0   \\ \frac 12 (b^2-a^2) \cdot ( -1) \\ (b-a) \cdot \zeta \cdot \frac {\pi^2}2 \end{matrix}\right] \,= \, \quad \left[   \begin{matrix}  0   \\ \frac 12 (a^2-b^2)  \\ (b-a) \cdot \zeta \cdot \frac {\pi^2}2 \end{matrix}\right] \,$$

mit der Bitte um geflissentliche Kenntnisnahme und gnädige Beurteilung ...

---

Es stimmt nicht so ganz recht. \(du\,dv\) ist ein kleines Rechteck im Paramterbereich. Das Oberflaechenelement ergibt sich dann als \(dO=|X_u\times X_v|\,du\,dv\). Fuer das Integral ueber die ganze Flaeche waere dann: $$\int_F f\,dO=\int\!\!\!\int_G f(X(u,v))|X_u\times X_v|\,du\,dv$$ Die Flaeche F heisst Schraubenflaeche. (Fuer Googler.)

Im Uebrigen ist die Aufgabe so lustlos und schlampig hingerotzt, dass man nicht mal weiss, ob das drei skalare Integrale sein sollen, oder ob dO vielleicht ein vektorielles Oberflaechenelement ist.

---

Inzwischen hab ichs gepeilt - so geht mal nich ...

... aber Danke für den Hinweis.

Was den Fragesteller angeht - der ist wohl inwischen in den Ferien!