Aufgabe:
Seien
D = {(x,y) ∈ \( ℝ^{2} \) : x^2+y^2 ≤ 2, x≥0, y≥0},
die Funktion
g: \( ℝ^{2} \) → ℝ, g(x,y) = 4 + x^2 -y^2
gegeben. Betrachten Sie nun den Funktionsgraphen
F = {(x,y,z) ∈ \( ℝ^{3} \) : (x,y) ∈ D, z = g(x,y)}
und bestimmen Sie den Oberflächeninhalt ∫F 1 dσ
Problem/Ansatz:
Guten Tag, ich verzweifele etwas an dieser Aufgabe. Ich habe versucht meine Fläche zu parametrisieren und es mit Zylinderkoordinaten versucht. Dabei komme ich auf
F=(r*cos(phi), r*sin(phi), 4+r^2(cos^2(phi) - sin^2(phi)), wobei r [0,2] und phi[0, pi/2] entspricht.
Ich habe cos^2(phi) - sin^2(phi) zu cos(2*phi) vereinfacht
Wenn ich nun F partielle nach r und phi ableite und dann von diesen beiden Ableitungen das Kreuzprodukt bilde bekomme ich: F_r x F_phi = (-2r^2(sin(2*phi)*sin(phi) - cos(2*phi)*cos(phi)), 2r^2(sin(2*phi)*cos(phi) - 2r^2*cos(2*phi)*sin(phi)), r)
Davon den Betrag dann zu integrieren scheint mir etwas zu aufwendig dafür, dass es eine Klausuraufgabe ist die nur 4 Punkte von insgesamt 60 gibt. Kann jemand helfen, wo ich einen Fehler in der Parametrisierung gemacht habe oder wo ich eine Vereinfachung übersehen habe.
