Es ist
E: x + 3*y + 2*z = 6 (das ist eine Koordinatenform)
E2 wandeln wir auch mal in eine Koordinatenform um:
$$ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\6\\4 \end{pmatrix} = 12 $$
$$ 2x + 6y + 4z = 12 $$
E1 wandeln wir von der Parameterform in eine Koordinatenform (Normalform) um:
$$ \begin{pmatrix} n_1\\n_2\\n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\-2\\1 \end{pmatrix} = 4n_1 - 2n_2 + n_3 = 0$$
$$ \begin{pmatrix} n_1\\n_2\\n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\2\\-3 \end{pmatrix} = 2n_2 - 3n_3 = 0 $$
Hieraus ergibt sich beispielsweise der Normalenvektor
$$ \vec n = \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} $$
-> Normalenvektor hätte man auch über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren erhalten können.
$$ (\vec x - \begin{pmatrix} 2\\2\\-2 \end{pmatrix} ) \cdot \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} = 0 $$
$$ x + 3y + 2z = 4 $$
Ebene E zu E2:
Dividiert man die Gleichung E2 durch 2, so erhält man die 1. Gleichung. Damit sind die Gleichungen äquivalent. Die Ebenen E und E2 sind identisch.
Ebene E zu E1:
Die jeweilige linke Seite der Gleichungen sind identisch, aber die jeweilige rechte Seite nicht. Die Ebenen E und E1 haben zwar die gleiche Richtung (da gleicher Normalenvektor), aber sind nicht gleich. Sie stehen parallel zueinander.
Der Punkt $$ \begin{pmatrix} 2\\2\\-2 \end{pmatrix} $$ ist ein Punkt auf der Ebene E1.
