Normalenvektor und Lagebeziehungen

Question

Die Aufgabe:

Der Vektor n=(7/4/-3) ist ein Normalenvektor der Ebene E. Untersuchen Sie,ob die Gerade g die Ebene E schneidet oder parallel zur Ebene E bzw. In der Ebene E liegt.

a) g:x=(2/1/3)+r*(5/4/-2)

b) g:x=(1/1/2)+r*(-7/-4/3)

c)g:x=(8/1/7)+r*(1/-1/1)

Mir ist unschlüssig ,wie ich vorgehen soll,da nur der Normalenvektor der Ebenen E gegeben ist und keine Ebenengleichung.

Answer 1

Hallo,

ich fange mit c) an.

Das Skalarprodukt des Normalenvektors mit dem Richtungsvektor ist gleich Null.

Das bedeutet, dass die Gerade parallel zur Ebene oder in ihr verläuft.

Bei b) fällt auf, dass die Gerade in Richtung des Normalenvektors der Ebene verläuft und sie daher orthogonal schneidet.

Bei a) ist das Skalarprodukt nicht Null und die beiden Vektoren keine Vielfachen voneinander. Die Gerade schneidet die Ebene, aber nicht senkrecht. Den Schnittwinkel kann man berechnen.

:-)

Answer 2

Tipp:benutze deine Tischoberfläche als Ebene und nehme einen Bleistift,der den Normalenvektor der Ebene darstellt.

Einen 2.ten Bleistift nimmst du als eine Gerade.

Du siehst sofort,wann die Gerade (2,ter Bleistift) die Tischoberfläche schneidet

Gerade liegt parallel zur Ebene,wenn der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden senkrecht aufeinander stehen

Dazu muß das Skalarprodukt gleich Null sein → a*b=ax*bx+ay*by+az*bz=0

a)

(7/4/-3)*(5/4/-2)=7*5+4*4-3*(-2)=35+16+6=54≠0  → Gerade schneidet die Ebene

b)  m(-7/-4/3)  liegt parallel zum Normalenvektor der Ebene und zeigt nur in entgegengesetzter Richtung

Bedingung a*t=b   hier n(7/4/-3)*(-1)=m(-7/-4/3)

c)

7*1+4*(-1)-3*1=7-4-3=0  Gerade liegt parallel zur Ebene