Lagebeziehungen von Geraden

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie für die Variablen a,b,c und d Zahlen, sodass

g: x= (1/a/2)+r*(b/3/4) und h: x= (c/0/3)+s*(3/1/d)

a) zueinander parallel und verschieden sind

b) sich schneiden

c) zueinander windschief sind

Problem/Ansatz:

Für die a) hab ich bis jetzt raus: a ≠ -0,75, b = 9,

c ≠ 3,25 und d = 4/3

Meine Frage wäre hier nur, ob man dann tatsächlich  für a und c einfach irgendwelche Zahlen abgesehen von denen, die es logischerweise nicht sein sollen (-0,75 und 3,25) einsetzen darf.

Bei der b bin ich leider völlig ratlos. Habe die Geradengleichungen bis jetzt gleichgesetzt und drei LGS rausgekriegt:

1+br = c+3s

a+3r= s

2+4r= 3+ds

Habe jeweils mittels Einsetzungsverfahren zwei Gleichungen nach r aufgelöst und so rausbekommen, dass b ≠ 9 und d ≠ 4/3 sein muss (muss man das eigtl mit einer Rechnung belegen, da es sich dich eigtl aus der a) ergibt oder nicht?)

Weiß aber leider überhaupt nicht wie ich jetzt weiter vorgehen soll, alle Rechnungen die ich aufstelle werden irgendwann einfach zu kompliziert zum sinnvoll auflösen. Wir dürfen auch den Taschenrechner benutzen (TI-nspire CX), aber hab leider keine Ahnung ob und wie ich da linsolve einsetzen könnte.

Bitte um Hilfe!!

Comments

Habe die b) jetzt gelöst und bin auch auf das richtige Ergebnis gekommen. Meine Frage würde sich jetzt auf die c) beziehen, ich bin leider etwas ratlos wie das funktionieren soll und bitte auch hier nochmal gern um e Mithilfe!

Answer 1

Meine Frage wäre hier nur, ob man dann tatsächlich  für a und c einfach irgendwelche Zahlen abgesehen von denen, die es logischerweise nicht sein sollen (-0,75 und 3,25) einsetzen darf.

Na klar !

Für b) reicht doch: Sei dürfen nicht parallel sein, ( also etwa b=3 und d=1 )

und müssen einen gemeinsamen Punkt haben. Also etwa mit

b=3 und d=1  noch c=4 und a=-1 .

Dann haben sie (1   -1 ; 2 ) gemeinsam.

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Comments

Ok danke dir schonmal ganz lieb. Aber wie kriegt man den gemeinsamen Punkt raus, irgendwie hab ich gerad voll den Hänger

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Also wie kommt man auf a und c das steckt ja ne Rechnung hinter und die fehlt mir gerade irgendwie...

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Ich hatte ja erst mal b=3 und d=1

Dann wird daraus

g: x= (1/a/2)+r*(3/3/4) und h: x= (c/0/3)+s*(3/1/1)

und dann hab ich überlegt, wie man die anderen wählen muss,

damit bei h auch der Startpunkt von g draufliegt.

in der 3. Koordinate gibt das

2 = 3 + s also s=-1.

Und dann a und c so anpassen, dass es bei s=-1 auch stimmt

1 = c - 3   also c= 4   und

a = 0 - 1  also a= -1.

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Okay, super, ganz lieben Dank dir, hab jetzt auch das richtige raus

Könntest du mir vielleicht auch bei der c) behilflich sein? Also mir ist zwar klar wie es grundsätzlich funktionieren soll, wenn zwei Geraden windschief zueinander sein sollen, aber mir ist nicht ganz klar wie man das hier machen bzw. rechnen muss. Butte nochmal um e Hilfe

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Also erst mal dürfen sie ja nicht parallel sein.

Da würde ich so ähnlich beginnen beginnen wie bei b)

nur mit d=0 statt 1.

g: x= (1/a/2)+r*(3/3/4) und h: x= (c/0/3)+s*(3/1/0)

wenn du jetzt bei h alle möglichen Werte für s einsetzt,

bekommst du alle Punkte von h, aber wegen der 0 im

Richtungsvektor bleiben die alle bei der 3. Koordinate 3.

Und damit bei g ein Punkt mit 3. Koordinate 3 rauskommt muss

gelten  2 + r*4 = 3 also   r = 1/4 .

Das gäbe dann den Punkt   ( 1,75 ; a+0,75 ; 3 ) . Damit dieser auch

auf h liegt, müsste a+0,75 = 0+s gelten, also s= a+0,75.

Und in der ersten Komponente dann 1,75 = c+ 3*s

bzw.    1,75 = c + 3* (a+0,75)

<=>  1,75 = c + 3a + 2,25

<=>    -0,5  = c+ 3a

Damit das NICHT gilt, also die Geraden garantiert

keinen gemeinsamen Punkt haben kannst du

irgendwelche Zahlen wählen, die das verhindern,

etwa a=c=0.

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Super, ganz lieben Dank dir für deine tatkräftige Hilfe!

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Ich habs jetzt mal probiert und es ein bisschen anders gelöst und wollte fragen ob das so theoretisch auch geht:

Also habe auch erstmal den Ansatz wie bei c gewählt (g und h dürfen nicht parallel sein, also b=3 und d=0)

Hab dann die Punktprobe angewendet und den Stützvektor von g in h eingesetzt und es kam folgendes raus:

(1/a/2)= (c/0/3) + s*(3/1/0)

Daraus dann 3 LGS gemacht:

1= c+3s

a=s

2= 3+0s

Beim 3. LGS entsteht ja ein Widerspruch, demnach müssten sie ja theoretisch windschief sein egal was man für a und c einsetzt. Bin mir aber nicht sicher ob das so geht.

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Ich habs jetzt mal probiert und es ein bisschen anders gelöst und wollte fragen ob das so theoretisch auch geht:

Also habe auch erstmal den Ansatz wie bei c gewählt (g und h dürfen nicht parallel sein, also b=3 und d=0)

Hab dann die Punktprobe angewendet und den Stützvektor von g in h eingesetzt und es kam folgendes raus:

(1/a/2)= (c/0/3) + s*(3/1/0)

Daraus dann 3 LGS gemacht:

1= c+3s

a=s

2= 3+0s

Beim 3. LGS entsteht ja ein Widerspruch, demnach müssten sie ja theoretisch windschief sein egal was man für a und c einsetzt. Bin mir aber nicht sicher ob das so geht.

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Bin mir unsicher ob das geht, aber prinzipiell ist es ja das selbe Verfahren, wie das was wir bei der c) auch angewendet haben was mich zur eigentlichen Frage führt:

Die Punktprobe (so haben wir es gelernt), setzt man ja eigtl nur ein, wenn die RV kollinear sind, und es darum geht ob die Geraden echt parallel oder identisch sind. Wenn es um Schnittpunkte oder eben windschiefe Lage geht, setzt man die Geradengleichungen ja eigtl gleich.

Darf man die Punktprobe also auch einsetzen, wenn es um letzteren Fall (Schnittpunkt oder windschief) geht, um eben nach fehlenden Variablen aufzulösen wie bei der c) auch geschehen, oder geht das nicht?

Answer 2

g: x= (1/a/2)+r*(b/3/4) und h: x= (c/0/3)+s*(3/1/d)

a) zueinander parallel und verschieden sind

Das gelingt für die Richtungsvektoren, \( \begin{pmatrix} 9\\3\\4 \end{pmatrix} \)  und \( \begin{pmatrix} 3\\1\\\frac{4}{3} \end{pmatrix} \) und geeignete Ortsvektoren.