Geradenpaare paralleler Geraden suchen. Lagebeziehungen von Geraden im Raum.

Question

Aufgabe:

Suchen Sie unter den vier Geraden g1, g2, g3 und g4 Geradenpaare paralleler Geraden, sich schneidender Geraden sowie windschiefer Geraden.

\( g_{1}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) + t\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \)

\( g_{2}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)+\mathrm{t}\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \)

\( g_{3}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\mathrm{t}\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \)

\( g_{4}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left( \begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 2\end{array}\right) +\mathrm{t}\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \)

Comments

Vor dem Rechnen musst du gucken. Was fällt denn auf, wenn du die vier Geradengleichungen miteinander vergleichst?

---

Naja mir fällt auf das einige vektoren gleich sind aber das wärs auch

---

Wenn Richtungsvektoren gleich sind, sind die Geraden parallel (oder sie fallen sogar zusammen).

Answer 1

zuerst prüfst du, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Ist das der Fall, sind sie párallel oder identisch. Du setzt dann einen Punkt von der einer Geraden in die Geradengleichung der anderen ein. Liegt der Punkt auch auf der zweiten Gerade, sind sie identisch.

Falls die Richtungsvektoren kein Vielfaches voneinander sind, sind die Geraden windschief oder schneiden sich in einem Punkt. Du versuchst, einen Schnittpunkt zu berechnen, indem du die Geradengleichungen gleichsetzt. Ergibt sich kein Schnittpunkt, sind die Geraden windschief.

Kommst du damit weiter?

Gruß, Silvia

Comments

du siehst anhand der Richtungsvektoren, dass die Geraden g1 und g 2 sowie g3 und g4 parallel zueinander sind.

Um festzustellen, ob die anderen Kombinationen einen Schnittpunkt oder keinen (=windschief) ergeben, setzt du die Gleichungen gleich und erhältst ein Gleichungssystem.

Hier zum Beispiel g1 und g4:

$$ \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\2\\2  \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} $$

ergibt das Gleichungssystem:

$$ \begin{aligned}0+t&=4+0\\1+2t&=2+s\\1+0&=2+s\end{aligned}$$

Aus ersten Zeile folgt t = 4 und aus der dritten s = -1. Setzt du das jedoch in die zweite Zeile ein, erhältst du 9 = 1: falsche Aussage, also haben die Geraden keinen Schnittpunkt und sind winschief zueinander.

Wenn du das Gleiche zum Beispiel mit den Geraden G2 und g4 machst, erhältst du den Schnittpunkt mit den Koordinaten (4|2|2).

Trotzdem würde ich dir empfehlen, dem Rat vom Mathecoach zu beherzigen und das Kapital noch einmal nachzuarbeiten.

Answer 2

Lage g1 und g2
Richtungsvektoren sind linear abhängig. --> Parallel oder identisch.

[0, 1, 1] + r·[1, 2, 0] = [4, 2, 2] --> Keine Lösung und damit parallel.

Abstand d = ABS(([4, 2, 2] - [0, 1, 1]) ⨯ [1, 2, 0])/ABS([1, 2, 0]) = 3/5·√30 = 3.286

Man kann auch gleich die Abstandsformel benutzten. Wenn es einen Abstand gibt können sie ja nicht identisch sein.

Weiterhin lässt auch die Aufgabenstellung darauf schließen, das identisch nicht vorgesehen ist.

Natürlich könnte ich auch die anderen Lagen der anderen 5 Kombinationen vormachen aber eigentlich solltest du das kapitel mal im Buch nachlesen. Dann weißt du noch besser wie das gemacht wird.