Bestimme von den 4 Geraden jeweils die Lagebeziehung.

Question

Lagebeziehungen von Geraden im Raum heute besprochen. Jedoch habe Ich es nicht verstanden.

Aufgabe:

Bestimme von den 4 Geraden jeweils die Lagebeziehung.

Lagebeziehung von Geraden im Raum

\( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}6 \\ 0 \\ 6\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}-3 \\ 6 \\ -6\end{array}\right) \quad r \in \mathbb{R} \)

\( h: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 6\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{l}6 \\ 6 \\ -6\end{array}\right) \quad s \in \mathbb{R} \)

\( h: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)+l\left(\begin{array}{c}3 \\ 3 \\ -3\end{array}\right) \quad l \in \mathbb{R} \)

\( j: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}3 \\ 6 \\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2\end{array}\right) \quad t \in \mathbb{R} \)

Unsere Lehrerin meinte wir sollten erst damit anfangen zu bestimmen, ob die identisch sind.

Kann mir jemand ein Musterbeispiel ausführlich erklärt als Antwort geben. Ich bin in der 12. Klasse.

Answer 1

der Fachbegriff für den Vektor ohne einen Parameter ist Stützvektor (manchmal auch Ortsvektor). Der mit Parameter ist Richtungsvektor.

(Anmerkung, bei mir ist die dritte Gerade mit i bezeichnet)

a) Parallel:

Wenn Geraden parallel sein sollen, dann muss der Richtungsvektor in die gleiche Richtung "schauen". Das heißt für Dich, dass Du überprüfen musst, welcher Vektor in die gleiche Richtung weißt, wobei die Länge irrelevant ist. So ist 

g und j parallel, da Du den Richtungsvektor von j mit -3 multiplizieren kannst und dann alle Komponenten übereinstimmen.

h und i parallel, da Du den Richtungsvektor von i mit 2 multiplizieren kannst und dann alle Komponenten mit denen von h übereinstimmen.

b) Identisch:

Gleiche Bedingung, was die Richtungsvektoren angeht. Nun musst Du noch überprüfen, ob die Stützvektoren auf jeweils beiden Geraden liegen.

i -> Versuchen wir den Punkt (0,0,3) (wenn l = 0) auch mit h zu erreichen. Dafür gibt es offensichtlich (?) keine Möglichkeit -> nur parallel, aber nicht identisch.

g -> Versuchen wir (6,0,6) mit j zu erreichen. Da sieht man sofort an der letzten Zeile, dass d = 3 sein muss. Sonst ist die letzte Zeile nicht erfüllt. Vergleicht man noch die beiden anderen Zeilen, so kann man mit d = 3 in der Tat den Punkt (6,0,6) erreichen. Sie sind identisch.

c) Schneiden sich

Das überlasse ich Dir :).  Den Schnittpunkt zweier Geraden findest Du, wenn Du diese einfach gleichsetzt. Dabei das einfach als Gleichungssystem auffassen.

Bsp.:

Schnittpunkt zwischen g und h:

6 - 3r = 0 + 6s

0 + 6r = 0 + 6s

6 - 6r = 6 - 6s

Du siehst da sind nur die Vektoren untereinander geschrieben und gleichgesetzt. Löse diese (Du siehst bspw. in der zweiten Zeile, dass r = s. Damit ergibt sich in der ersten Zeile: 6 - 3s = 6s -> 6 = 9s -> s = 2/3 = r. Probe mit der letzten Zeile: Geht auf -> Es gibt einen Schnittpunkt!)

Gibts keine Lösung, so siehe d). Natürlich brauchst Du parallele/identische Geraden nicht untersuchen^^.

d) Windschief

Sind sie weder parallel, identisch, noch schneiden sie sich, dann sind die windschief.

Hoffe ich konnte weiterhelfen.

Grüße