Nullstellen? Regel vom Nullprodukt verstehen.

Question

Hallo Nullstellen :)

f(x)=1/3x³-3x

f(x)=0

1/3x³-3x=0

x(1/3x²-3)=0

                                                       x=0

                                                       1/3x²-3=0

1/3x²-3=0   I:1/3

      x²-9=0   I+9

      x²    =9  

     x2=+3

    x3=-3

Stimmt meine Rechnung ??

Ich habe eine Frage dazu (Ich weiss wie man rechnet, aber habe ein Verständnisproblem):

Mir wurde gesagt, dass man aus  x(1/3x²-3)=0  ---> x=0 und 1/3x²-3=0 machen kann, aber leider verstehe ich nicht warum.....Der Grund soll angeblich das hier sein, den ich nicht verstehe:

Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird!

Answer 1

Hallo Plya,

bitte konkretisiere nochmal was genau du nicht verstehst! Wir haben hier ein vorliegendes Produkt (eine Multiplikation) aus dem 1. Faktor \(x\)

und dem zweiten Faktor \( \frac{1}{3}x^2 -3 \). Wir wissen nun an deiner Stelle, das wir wahrscheinlich über den Körper der \( \underline{reellen} \) Zahlen reden. In diesem gilt, dass jede Zahl multipliziert mit Null wieder Null sein muss also: \( x \in \mathbb{R} \Rightarrow x*0 = 0 \).
So, wenn wir diesen Gedanken auf deine Aufgabe übertragen kommen wir zu genau dem Satz den du bereits genannt hast: " Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird! ".

Nämlich gilt \(x ( \frac{1}{3}x^2 -3) = 0 \Leftrightarrow x =0 \vee ( \frac{1}{3}x^2 -3) =0 \)

also umgangssprachlich wenn das Produkt aus \(x\) oder dem Term \( \frac{1}{3}x^2 -3 \) gleich Null ist muss einer (oder beide!) der beiden Terme gleich 0 sein.

So wenn wir wissen, dass \(x=0\) ist folgt, dass \(  \frac{1}{3}x^2 -3 \) logischweise nicht gleich 0 sein kann! Dies sieht man einfach wenn man \(x=0 \) einsetzt, denn: \( \frac{1}{3}* 0 -3 \neq 0 \).

Also folgt entweder \(x=0\) oder Fall 2  \( ( \frac{1}{3}x^2 -3) =0 \), was dann mit deiner Umformung genau zur Folge hat das gelten muss \( x_1= -3, x_2 = 3 \).

ich hoffe ich konnte dir helfen! Bei Fragen schreib mich an.

Beste Grüße Toadie

Comments

Achsoo DAnke für deine ausführliche Erklärung. Danke :)

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Das hat mir jetzt geholfen:

x(1/3x²-3)=0

Das ist das Produkt und dieses Produkt wird null, wenn der Faktor x und der Fakor mit der Klamme null wird.....

DANKE

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Ja genau, das ist der Kern der Aufgabe!

Answer 2

Stimmt meine Rechnung ??   JA!!

Ich habe eine Frage dazu (Ich weiss wie man rechnet, aber habe ein Verständnisproblem):

Mir wurde gesagt, dass man aus  x(1/3x²-3)=0  ---> x=0 und 1/3x²-3=0 machen kann, aber leider verstehe ich nicht warum.....Der Grund soll angeblich das hier sein, den ich nicht verstehe:

Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird!

Überlege dir doch mal zwei Zahlen, deren Produkt 0 ist 
 7*9 Nein, ist nicht 0
1/2 * 1/4  nein, auch nicht
......
.....
nach einigem Überlegen wirst du finden, es geht nur sowas wie
0*4  oder
0* 1/3 
oder eben
5*0
oder
2/3 * 0
also kurz:
Einer der Faktoren muss 0 sein. Eben deshalb:
 
Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird!

Comments

Ahh Okay Dannke.. .D

Aber das was du sagst mache ich doch nicht direkt

Ich setzte sie doch nur glecih null mhh

Also wenn ich diesen Satz höre fällt mir auch gleich das ein was du sagt Bsp..
5*0 etc.

Aber ich rechne doch:
x=0 und 1/3x²-3=0
Un d multipliziere ja nichts

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Ursprünglich hieß ja die Gleichung

x(1/3x²-3)=0

bzw.

x *  (1/3x²-3)=0

und das ist ja nun ein Produkt mit 1. Faktor x und 2. Faktor ist die Klammer.

Wenn 0 rauskommen soll, muss also

entweder die Klammer oder das x gleich 0 sein.

Ganz korrekt wäre übrigens:

x=0     oder  1/3x²-3=0

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Bei mathefs oder handelt es sich um ein nicht-auschließendes Oder, d.h. : entweder ist eins von beiden war, oder beide sind war! Es gilt ja ebenfalls auch \( 0*0=0 \). In diesem Fall ist jedoch der Fall, dass beide Funktionen gleich Null sind nicht möglich wie ich unten erklärt habe...

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DAnke habe es jetzt verstanden.

DANKE