Nullprodukt. Beweis einer Regel über reelle Funktionen.

Question

Warum wird ein Produkt null, wenn mindestens ein Faktor null ist? Beweis wäre nett und mit Erklärung wäre besser

Answer 1

Nenne mir mal eine Multiplikation A * B deren Ergebnis Null ist wo nicht einer der Faktoren A oder B Null ist.

Ich denke das schaffst du nicht. Warum nicht?

Weil letztendlich nur eine Multiplikation mit Null zu einem Ergebnis von Null führt. Und das besagt der Satz vom Nullprodukt.

Comments

Nenne mir mal eine Multiplikation A * B deren Ergebnis Null ist wo nicht einer der Faktoren A oder B Null ist.

Das sollte ja wohl kein Problem darstellen.

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Hab ich dort einen Formulierungsfehler gemacht. Bitte hilf mir mal auf die Sprünge wo der Fehler ist?

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Erstens :
In der Überschrift ist von reellen Funktionen die Rede.
Es ist z.B.  χ_({0}) · χ_({1})  =  o  (bei punktweiser Definition der Multiplikation)

Zweitens :
H. und du, ihr beide unterligt demselben Irrtum :
Der Nullproduktsatz ist eine "genau dann  ...  wenn" Aussage:
"Wenn a·b = 0 ist, dann ist a = 0 oder b = 0"  
  -   diesem Teil des Satzes widmet ihr euch
"Wenn a = 0 oder b = 0 ist, dann ist a·b = 0"
  -   dieser Teil des Satzes ist das Problem des Fragestellers, er wird aber nur von H.97 erörtert.

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Erstens :
In der Überschrift ist von reellen Funktionen die Rede.
Es ist z.B.  χ{0} · χ{1}  =  o  (bei punktweiser Definition der Multiplikation)

Wäre bei f(x) = sign(x) + 1  und g(x) = sign(x) -1

f(x) * g(x) = 0, obwohl weder f(x) noch g(x) überall Null ?

Aber mir scheint, dass hj2166

Warum wird ein Produkt null, wenn mindestens ein Faktor null ist?

ergänzt zu z.B.

Warum wird ein Produkt nur null, wenn mindestens ein Faktor null ist?

?

Answer 2

du kannst das anhand der Körperaxiome beweisen. Die reellen Zahlen bilden auch einen Körper, weshalb man für diese Behauptung auch diese Axiome nutzen kann.

Das sind die Körperaxiome:

Für alle a,b,c ∈ ℝ gilt

1.) ADDITION

(A1) Assoziativgesetz

$$ a+(b+c)=(a+b)+c $$

(A2)

    (i) Neutrales Element der Addition

$$ \quad a+0=a $$

    (ii) Inverses Element der Addition

$$ \quad a+(-a)=0 $$

(A3) Kommutativgesetz

$$ a+b=b+a $$

2.) MULTIPLIKATION

(M1) Assoziativgesetz

$$ a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b) \cdot c $$

(M2)

    (i) Neutrales Element der Multiplikation

$$ \quad a\cdot 1 = a, \quad 1 \in\mathbb{R}\setminus \{0\} $$

    (ii) Inverses Element der Multiplikation

$$ \quad a\cdot a^{-1}=1, \quad a^{-1}\neq 0 $$

(M3) Kommutativgesetz

$$ a\cdot b=b\cdot a $$

3.) DISTRIBUTIVGESETZ

(D)

$$ (a+b)\cdot c= a\cdot c+b\cdot c $$

Behauptung:

$$ \forall x \in \mathbb{R}: \ 0\cdot x= 0.$$

Beweis:

$$ Sei \ x\in \mathbb{R}.Zunächst \ gilt:\\0\cdot x\stackrel{(A2.i)}{=} (0+0)\cdot x\stackrel{D}{=}0\cdot x+0\cdot x\quad (*)\\ Dann \ ist\\ 0\stackrel{(A2.ii)}{=}0 \cdot x+(-(0\cdot x))\stackrel{(*)}{=}(0 \cdot x+0 \cdot x)+(-(0\cdot x))\stackrel{(A1)}{=}0 \cdot x+(0 \cdot x+(-(0\cdot x)))\\ \stackrel{(A2.ii)}{=}0 \cdot x+0\stackrel{(A2.i)}{=}0 \cdot x$$

                                                                                                                                                                            q.e.d

Answer 3

     Du würdest ja sofort in Wiki nachsehen, wenn du wüsstest wo.  Schau mal unter  ===>  Nullteiler.

    Zwei Zahlen a und b heißen Nullteiler, wenn weder a  noch b Null ist, aber  a  b  =  0  .

   Ein einfaches Beispiel;    ===>  Restklassenringe.  Mit Resten  "  modulo  "  kannst du richtig rechnen.

   Z.B. wenn a = 2 mod 9 und b = 3 mod 9 , dann ist a b = 6 mod 9 .

    Sagen wir a = 3 mod 9 und b  = 4 mod 9 , dann ist a b = 12 mod 9 = 3 mod 9 , weil ja 9 mod 9 = 0 .

    Und aus dem selben Grunde gilt mod 9

       3  *  3  =  0    

     weil ja 9  =  0  mod  9  .

   Und jetzt betrachten wir die Situation in einem  ===>  Zahlenkörper.  Zu den Körperaxiomen gehört, dass alle Zahlen  ( außer der Null )  eine Gruppe bilden; zu jedem Element gibt es also ein Inverses.

        a  x  =  0    |    *  a  ^ -  1         (  1  )

    Mein Trick: Ich multipliziere mit dem reziproken

      a  ^ - 1 (  a  x  )  =  0       (  2a  )

     (  a  ^  -  1  a  )  x  =  0      (  2b  )    (  Assoziativgesetz  )

          1  x  =  x  =  0       (  2c  )    ;   wzbw       (  2c  )

         Schau dir mal ===>  Matrizen an; die haben auch Nullteiler.

Comments

Was du da schreibst, geht doch an der Frage völlig vorbei.

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  Wieso? Jeder der so fragt, sollte sich erst mal paar Beispiele für Nullteiler rein ziehen - dass es die also tatsächlich gibt.

   Worauf beruht eigentlich Nullteilerfreiheit?

    1)  Du hast das Assoziativgesetz .

    2)  Es gibt ein Einselement  e  ,  so dass  e  a  =  a  für alle  a  .

    3) Zu jedem a  ( außer Null versteht sich )  gibt es ein Inverses  a  ^ -  1

   Unter diesen sehr allgemeinen Voraussetzungen funktioniert mein obiger Beweis;  das sind nicht nur sämtliche Zahlenkörper, sondern etwa auch die Gruppe der regulären Matrizen.