Gleichungen von Geraden im Raum aufstellen (Vektoren). Schneidend, parallel, windschief

Question

Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

"Geben Sie die Gleichungen zweier Geraden g und h des Raumes an, die

a) sich schneiden,

b) zueinander parallel sind, und

c) zueinander windschief sind."

Bei allen Teilaufgaben weiß ich, was für Richtungsvektoren es in der Gleichung jeweils geben muss. Bei der b) weiß ich z.B., dass die Richtungsvektoren der Geradengleichungen von g und h Vielfache sein müssen, weil das bei zueinander parallelen Geraden ja so ist. Bei a) und c) dürfen die Richtungsvektoren von g und h ja keine Vielfachen sein.

Aber bezüglich der Gleichungen wüsste ich nicht, wie ich auf den Stützvektor der 2 Gleichungen kommen soll.

Comments

Gibt es irgendwelche weiteren Angaben oder ist es völlig schnuppe, welche Geraden man sich ausdenkt ?

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Nein, es gibt keine weiteren Angaben. Demnach ist es völlig egal, welche Zahlen man sich z.B. für den Richtungsvektor aussucht, sodass es mehrere mögliche Gleichungen geben kann.

Für die a) hätte ich für die beiden Gleichungen folgende Lösungen. Ist das richtig?

Answer 1

Beispiel für Schnittpunkt !

Answer 2

Ich würde etwas nehmen, das man gut zeichnen kann.

a) g: (x,y,z) = (2,0,0) + t(0,0,1)

h: (x,y,z) = (2,0,0) + s(0,1,0)

b)  g: (x,y,z) = (3,0,0) + t(0,1,0)

h: (x,y,z) = (2,0,0) + s(0,1,0)

c)  g: (x,y,z) = (3,0,0) + t(0,0,1)

h: (x,y,z) = (2,0,0) + s(0,1,0)

Kontrolliere meine Antworten mit 3D-Skizzen.

Dann kannst du dir immer noch schiefere Geraden ausdenken, wenn du unbedingt willst.

Comments

Hallo "Lu",

wie kommen Sie auf diese Gleichungen?

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Wie gesagt, ich habe mir je zwei Geraden mit den geforderten Eigenschaften ins Koordinatensystem gezeichnet und dann die Geradengleichungen abgelesen.

Ein dreidimesionales Koordinatensystem bekommst du doch hin.

Answer 3

Wenn zwei sich schneiden sollen, nimmst du am besten den gleichen Startpunkt

z.B. (0;0,1) und verschiedene Richtungsvektoren, die nat. lin. unabh. sein müssen.

z.B.

g1 :  x = (0;0,1)+ r* (1;0,0)

g2: x= (0;0,1)+ r* (0;1;0)

eine, die zu g1 windschief ist, darf erst mal keinen gemeinsamen Punkt mit g1 haben,

also etwa (0;1;0)  [ denn die Punkte von g1 haben alle bei x2 eine 0]

und einen zu (1;0,0)lin. unabh. Richtungsvektor (z.B. den von g2, also etwa

g3:  x = (0;1,0)+ r* (0;1;0)

parallel  zu g1 und von g1 verschieden ist eine Gerade mit einem zu  (1;0,0)

lin. abh. Richtungsvektor z.B. den gleichen wie bei g1

aber einem Punkt, der sicher nicht auf g1 liegt (s.o.), etwa

g4 :  x = (0;1,0)+ r* (1;0,0)

Kannst auch 2x g1 nehmen, das geht auch; denn jede Gerade ist zu sich selbst parallel.

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Okay, vielen Dank für die Antworten!

Answer 4

Durch eine Zufallsentdeckung kam ich dahinter: Die Sache ist ganz einfach. Und zwar greife ich eine geniale Entdeckung des Users " der Mo " auf aus dem Portal ===> Ly cos  ( Es handelte sich ursprünglich um Ebenengleichungen )
  Ja mer tippt sisch an de Kopp. Schreib mal die beiden Gleichungen g1;2 auf mit Anfangspunkt P1;2 bzw. richtungsvektor t1;2



      g1;2  (  k1;2  )  :=  P1;2  +  k1;2  t1;2     (  1  )


  
       Jetzt intressier ich mich für folgende Determinante:



         f  =  f  (  t1  ;  t2  )   :=  det  (  t1  |  t2  |  P2  -  P1  )    (  2  )



      Fall b) ( parallel ) wollen wir ausschließen; den erkennst du ja auch von Selber. Dann wäre zunächst zu rechtfertigen, dass Determinante ( 2 ) Sinn voll ist; d.h. ihr Wert hängt nicht von der besonderen Wahl von P1;2 ab. Die Behauptung: Diese Determinante verschwindet dann und nur dann, wenn Fall a) vor liegt, d.h. die Geraden sich schneiden.
  Beweis. Im Falle a) setze ich, da ( 2 ) ja nicht von der speziellen Wahl von P abhängt



            P1  =  P 2  =  Schnittpunkt    (  3  )



    Dann ist offenbar die dritte Spalte von Determinante ( 2 ) Null.
   Im Fall c) kommt eine Betrachtung ins Spiel, die typisch für mich ist. Wie muss ich bei zwei Wind schiefen Geraden die Punkte P1;2 verschieben, damit ihr Abstand minimal wird? Eine Extremwertaufgabe, deren Lösung lautet: Der Verbindungsvektor ( P2 - P1 )  , das ist genau Spalte 3 unserer Determinante, steht senkrecht so wohl auf t1 als auch t2. Anschaulich gesprochen: Beide Geraden verlaufen in parallelen Ebenen E1;2  , welche beide jeweils aufgespannt werden durch die beiden t1;2. Und der Absolitbetrag || p2 - P1 ||  entspricht dem Abstand zwischen E1 und E2 . Da ( P2 - P1 ) senkrecht so wohl auf t1 als t2 , sind die drei Vektoren linear unabhängig, und die Determinante verschwindet nicht.
   Wie ihr wisst, darf ich Richtungsvektor t1 umnormieren; dies entspräche dem Umstand, dass ich einen Faktor aus der ersten Spalte heraus ziehen kann.



                  | 4 3  -4 |
     det  =    | 3  9  4 |     =    (  4a  )
                  | 2  5  0 |



      =  4  *  9  *  0  +  3  *  4  *  2  +  (  - 4 )  *  3  *  5  -  (  - 4 )  *  9  *  2  -  3  *  3  *  0  -  4  *  4  *  5  =  ( 4b  )
     
     =   4  (  6  -  15  +  18  -  20  )  =  -  4  *  11    ===>  wind schief (  4c  )

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  Hier ich seh grad. Wenn du ( 1.4a ) entwickelst nach der 3. Spalte



   det  =  -  4  (  | 3 9 |  +  | 4 3 |  )
                        | 2 5 |      | 2 5 |         (  2.1  )



      Jetzt darfst du aber jeweils die erste Spalte addieren, weil ja die zweite gleich ist:



    det  =  - 4  | 7 12 |     (  2.2  )
                     | 2   5 |



      Klar, wie ich das meine? Naa stimmts?