Pflanzenwachstum berechnen. h1 (t)= 0,05*e^{0,3*t}

Question

Ich benötige hilfe bei dieser aufgabe.

Es wird das Pflanzenwachstum beobachtet und es wird durch dir funktion h1 (t)= 0,05*e^{0,3*t}             EDIT(Lu) Exponent geklammert. 

h1: Höhe der Pflanze in Meter

t: Zeit (in wochen)

a) Berechnen Sie wie hoch die Pflanze 13 Wochen nach Beginn der Beobachtung wäre.  Tatsächlich ist die Pflanze nach 13 Wochen 2,06m hochm Die Höhe wird deshalb für t>= 8 durch eine funktion h2 mit h2 (t)= a-b*e^-0.3t beschrieben. Bestimmen Sie a und b aus den beobachteten Höhen nach 8 und nach 13 Wochen. (KONTROLLE a=2,5 b=21,4)

Die Pflanze wäre eigentlich nach h1 nach 13 Wochen 2,47m. Ich habe versucht a und b rauszubekommen aber ich komme mit 2 variabeln nicht klar.

b) Lenas Zimmer ist 2.70m hoch.  Wann würde die Pflanze die Zimmerdecke stößen?

Ich habe durch Testeinsetzung herausbekommen dass die Pfanze nie größer als 2,5 m sein wird. Wie kann man es rechnerisch lösen?  Ich habe es versucht aber es hat auch nicht geklappt.              

c) Was ist die Ableitung von h1 und von h2?

Meine Überlegung:

h1'(t)= 0,3*t*0,05*e^0,3t

h2'(t)= -0,3*t*a*b*e^{-0,3t}

DANKEEE!!!

Answer 1

Es wird das Pfalnzenwachstum beobachtet und es wird durch dir
funktion h1 (t)= 0,05*e^0,3*t

h1: Höhe der Pflanze in Meter

t: Zeit (in wochen)

a) Berechnen Sie wie hoch die Pflanze 13 Wochen nach Beginn der Beobachtung wäre.  Tatsächlich ist die Pflanze nach 13 Wochen 2,06m hochm Die Höhe wird deshalb für t>= 8 durch eine funktion h2 mit h2 (t)= a-b*e^-0.3t beschrieben. Bestimmen Sie a und b aus den beobachteten Höhen nach 8 und nach 13 Wochen. (KONTROLLE a=2,5 b=21,4)

Die Pflanze wäre eigentlich nach h1 nach 13 Wochen 2,47m. Ich habe versucht a und b rauszubekommen aber ich komme mit 2 variabeln nicht klar.

Zur Ermittlung der 2.Funktion sind dir 2 Punkte bekannt
h1 ( 8 ) = 0,05*e^0,3*8 = 0.05 * e^{2.4} = 0.55 m
und
nach 13 Wochen 2.06 m

( 8 | 0.55 )
( 13 | 2.06 )
Für diese Punkte gilt h2
h2 ( t ) = a - b * e^{-0.3*t}

h2 ( 8 ) = a - b * e^{-0.3*8} = 0.56
h2 ( 13 ) = a - b * e^{-0.3*13} = 2.06

Dies sind 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.
Schaffst du die Lösung allein ?
Tip : die beiden Gleichungen voneinander abziehen. Dann entfällt a.

Comments

a - b * e^-0.3*8 = 0.56
a - b * e^-0.3*13 = 2.06

a - b * 0.0907 = 0.56
a - b * 0.0202 = 2.06
----------------------------
-b * 0.0907 - ( - b * 0.0202 ) = 0.56 - 2.06
b = 21.28

a - 21.28 * 0.0907 = 0.56
a = 2.49

Probe
2.49 - 21.28 * 0.0202 = 2.06

h2 ( t ) = 2.49 - 21,28 * e^{-0.3*t}

b.)
h2 ( t ) = 2.49 - 21,28 * e^{-0.3*t} = 2.70
2.49 - 21,28 * e^{-0.3*t} = 2.70
- 21,28 * e^{-0.3*t} = 0.21
 e^{-0.3*t} = 0.21 / - 21,28
 e^{-0.3*t} = 0.21 / - 21,28
Keine Lösung

Falls t = unendlich dann h2 = 2.49 m
Dies ist die höchste Höhe.

c.)
Vorbemerkung
( e^term ) ´ = e^term * ( term ´)

h1 ( t ) = 0,05*e^{0,3*t}
h1 ´( t ) = 0,05*e^{0,3*t} * 0.3

h2 ( t ) = 2.49 - 21,28 * e^{-0.3*t}
h2 ´( t ) =  - 21,28 * e^{-0.3*t} * -0.3
h2 ´( t ) =  21,28 * 0.3 * e^{-0.3*t}

Alle Angaben ohne Gewähr.

Answer 2

a)  Tatsächlich ist die Pflanze nach 13 Wochen 2,06m hochm Die Höhe wird deshalb für t>= 8 durch eine funktion h2 mit h2 (t)= a-b*e^-0.3t beschrieben. Bestimmen Sie a und b aus den beobachteten Höhen nach 8 und nach 13 Wochen. (KONTROLLE a=2,5 b=21,4)

h(8)=  0,55                         h(13)= 2,06

a-b*e^-0.3*8 = 0,55                a-b*e^-0.3*13 = 2,06

a = b*e^-0.3*8 + 0,55   in die zweite eingesetzt

b*e^-0.3*8 + 0,55  -b*e^-0.3*13 = 2,06

b*0,0907 - b * 0,0202 = 1,51

0,0705 * b = 1,51

b = 21,4   und bei rot eingesetzt   gibt es a= 2,5

b) Grenzwert für t gegen unendlich ist 2,5; denn  bei 2,5 - 21,4 *e^-0.3t

hat  der Term hinter dem Minus für t gegen unendlich den Grenzwert 0.

Also erreicht die Pflanze die Zimmerdecke nicht. Oder so :

2,5 - 21,4 *e^-0.3t   = 2,7

- 21,4 *e^-0.3t   = 0,2

e^-0.3t   =-0,016

aber e hoch irgendwas ist immer positiv, also keine Lösung.

c)

Meine Überlegung:

h1'(t)= 0,3*0,05*e ^0,3t   Du hattest ein t zuviel. Die Kettenregel liefert nur den Faktor 0,3.

h2'(t)= -0,3*( - b)*e ^-0,3t   wie obe.