Korrektur Injektivitätsbeweis

Question

Hi,

Könnte mir jemand sagen, ob dieser Beweis für den Nachweis der injektivität ausreicht? Ich bin so unsicher, weil mir dieser Typ Beweis so trivial vorkommt. So als würde er nichts aussagen und man könne ihn im jeden beliebigen Fall führen.

Aufgabe
Es seien A,B,C Mengen und f: A --> B, g: B -->C Abbildungen. Zeigen Sie: Ist g o f injektiv, so ist auch f injektiv.

Meine Lösung
Zu zeigen: gof ist injektiv --> f ist injektiv

Betrachte gof(x1) = gof(x2)
--> g(f(x1)) = g(f(x2)) --> f(x1) = f(x2), also x1 = x2, was zu zeigen war..

Answer 1

Eher so:  da gof injektiv, folgt aus   gof(x1) = gof(x2)  immer  x1 = x2

sei nun f(x1) = f(x2)  

(dann must du ja daraus folgern  x1 = x2 )

dann ist jedenfalls g(f(x1)) = g(f(x2))  , weil g eine Abbildung ist !

dann folgt ( s. Vor.) auch  x1 = x2, was zu zeigen war.

Comments

Ich verstehe den Unterschied nicht ganz. Kannst dus mir nochmal erklären?

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Achsooooooooooooooooooooooooo, okay jetzt verstehe ich es besser. Ich muss ja zeigen dass f injektiv unter g o f ist.

Answer 2

Der Beweis ist falsch. Aus der Injektivität von \( g\circ f\) folgt nicht, dass aus \( g(f(x_1)) = g(f(x_2)) \) auch \( f(x_1) = f(x_2) \) folgt, denn es ist nicht gefordert, dass auch \(g\) injektiv ist. Tatsächlich folgt stattdessen nur \(x_1 = x_2\). Außerdem hast du im Schritt \(f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2\) gerade die Behauptung angenommen, was natürlich nicht geht. Genau diese Implikation willst du ja schließlich zeigen.

Der Beweis geht wie folgt:

Sei \(g\circ f\) injektiv. Das heißt es gilt $$ g(f(x_1)) = g(f(x_2)) \Rightarrow x_1=x_2. \tag{1} $$

Das ist alles, was du bist jetzt weißt. Nun ist zu zeigen, dass \(f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2 \).

Um den Beweis weiterzumachen muss man sich jetzt (so wie immer) weiter durchhangeln. Wir nehmen uns jetzt \(x_1, x_2\) derart, dass \(f(x_1) = f(x_2)\). Jetzt müssen wir mithilfe von \( (1) \) irgendwie auf \(x_1=x_2\) kommen. Das heißt wir müssen zeigen, dass die Voraussetzung von \((1)\), sprich \(g(f(x_1))=g(f(x_2))\) erfüllt ist, denn dann folgt schon \(x_1=x_2\) eben aus \((1)\) und wir sind fertig.

Aus \(f(x_1)=f(x_2)\) folgt aber sofort \((g\circ f) (x_1) = (g\circ f) (x_2)\) und mit \((1)\) folgt \(x_1=x_2\).