Rechtecksseiten berechnen, wenn Fläche A=4800 und Diagonale d=100.

Question

Wie kann ich die Seiten eines Rechtecks berechnen, wenn ich nur die Fläche und die Diagonale habe? d=100 A=4800

Answer 1

  d = 100 ; A = 4800

  a und b bezeichnen die beiden Seiten des Rechtecks.

  A = 4800 = a * b ; Für die Diagonale gilt der Pythagoras : d^2 = a^2 + b^2 = 100^2

  b = 4800/a

  100^2 = a^2 + (4800/a)^2 = a^2 + (4800^2) / a^2  Ι a^2 durch z ersetzen

  100^2 = z + (4800^2 )/ z Ι * z

  100^2 * z = z^2 + (4800^2

  z^2 - 100^2*z = -(4800^2)

  z^2 - 100^2*z + 5000^2 = -(4800)^2 + 5000^2

  ( z - 5000 )^2 = 1400^2

   z = ± 1400 + 5000

  z = 6400 -> a^2 = 6400 -> a = 80
  b = 4800/a = 60

  z = 3600 -> a^2 = 3600 -> a = 60

  b = 4800/60 = 80

  a und b sind also 60 und 80

  Probe :  d^2 = 60^2 + 80^2 = 23040000

  d = 4800 stimmt

  mfg Georg

Answer 2

Hi

Wenn die beiden Seiten im Rechteck a und b heißen, dann berechnet sich die Fläche zu A = a*b.
Der Zusammenhang zwischen a, b und d lautet: a^2 +b^2 = d^2. (Pythagoras)

b = A/a;

a^2 +A^2/a^2 = d^2;
a^4 +A^2 = d^2*a^2;
a^4 -d^2*a^2 +A^2 = 0;

Substitution:
a^2 = c;
c^2 -d^2*c +A^2 = 0;

c_1,2= d^2 /2 ± sqrt( d^4 - 4*A^2 )/2;
c_1,2= 5000 ± 1400;

c₁= 6400;
c₂=3600;

Resubstitution:
a^2 = c₁;
a_1,2= ±sqrt(c₁) = ±80;

a^2 = c₂;
a_3,4= ±sqrt(c₂) = ±60;

Da nur positive Lösungen sinnvoll sind ergeben sich zwei Lösungen:
a₁= 80;
a₃= 60;

 

lg JR

Answer 3

Ich möchte einen etwas anderen Weg anführen:

(1) A = a*b = 4800
(2) d^2 = a^2 + b^2 = 10000

(2) + 2*(1) ergibt (3) d^2+2*A = (a+b)^2 = 19600
(2) − 2*(1) ergibt (4) d^2−2*A = (a−b)^2 = 400

Sei nun a ≥ b. Wurzelziehen ergibt
(5) sqrt(d^2+2*A) = a+b = 140
(6) sqrt(d^2−2*A) = a−b = 20

((5)+(6))/2 ergibt (7) a = (sqrt(d^2+2*A)+sqrt(d^2−2*A))/2 = 80
((5)−(6))/2 ergibt (8) b = (sqrt(d^2+2*A)−sqrt(d^2−2*A))/2 = 60