Question

Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Matrix:

$$\left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } \\ { 1 } & { 4 } & { 9 } & { 16 } \\ { 1 } & { 8 } & { 27 } & { 64 } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \\ { x _ { 3 } } \\ { x _ { 4 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 5 } \\ { 25 } \\ { 125 } \end{array} \right)$$

Freu mich über eure Hilfe!

PS: Bin an der Universität Saarland, Mathematik und Informatik =)

Answer 1

Hi,

Du gehst die Sache so an, dass Du dafür sorgst, dass pro Zeile immer weniger Einträge zu finden sind. Sprich die erste Zeile lässt Du unberührt. In der zweiten Zeile versuchst Du nur den ersten Eintrag loszuwerden, in der dritten Zeile die ersten beiden Einträge etc.

 

Dabei gehst Du wie folgt vor (Ich schreibe das mal ohne Matrizenschreibweise, ist aber das gleiche. Außerdem benennen ich die Variablen um):

 

I:     a+b+c+d=1                         

II:    a+2b+3c+4d=5

III:   a+4b+9c+16d=25

IV:   a+8b+27c+64d=125

 

Nun ist es II-I, III-I und IV-I:

I:     a+b+c+d=1

V:         b+2c+3d=4

VI:        3b+8c+15d=24

VII:       7b+26c+63d=124

 

Nun bei VI und VII die ersten beiden Einträge loswerden:

VI-3V und VII-7V

I:     a+b+c+d=1

V:         b+2c+3d=4

VIII:           2c+6d=12

IX:             12c+42d=96

 

Nun noch IX-6VIII

I:     a+b+c+d=1

V:         b+2c+3d=4

VIII:           2c+6d=12

X:                     6d=24

 

Nun einfach aufbröseln. Hast Du d in X, so hast Du auch c. Hast Du diese beiden, hast Du auch c etc.

Du solltest dann auf a=-1, b=4, c=-6, d=4 kommen.

 

Das ganze funktioniert natürlich genauso mit der Matrixschreibweise. Auf dem Blatt Papier ist die sogar platzsparender ;).

 

 

Alles klar?

Grüße

Answer 2

[1, 1, 1, 1, 1]
[1, 2, 3, 4, 5]
[1, 4, 9, 16, 25]
[1, 8, 27, 64, 125]

I - II, I - III, I - IV

[1, 1, 1, 1, 1]
[0, -1, -2, -3, -4]
[0, -3, -8, -15, -24]
[0, -7, -26, -63, -124]

3II - III, 7II - IV

[1, 1, 1, 1, 1]
[0, -1, -2, -3, -4]
[0, 0, 2, 6, 12]
[0, 0, 12, 42, 96]

6III - IV

[1, 1, 1, 1, 1]
[0, -1, -2, -3, -4]
[0, 0, 2, 6, 12]
[0, 0, 0, -6, -24]

Der Übersichtlichkeit wegen wähle ich x1 = a, x2 = b, x3 = c, x4 = d

-6d = -24
d = 4

2c + 6d = 12
c = (12 - 6d)/2 = (12 - 24)/2 = -6

-b - 2c - 3d = -4
b = (-4 + 2c + 3d)/(-1) = (-4 - 12 + 12)/(-1) = 4

a + b + c + d = 1
a = 1 - b - c - d = 1 - 4 + 6 - 4 = -1

Lösung

a = -1 ∧ b = 4 ∧ c = -6 ∧ d = 4