Tangentiale Kreise an Ellipsen

Question

Folgendes Problem:

Bekannt sind zwei identische, zueinander versetzte Ellipsen mit bekannten Achsen und bekanntem Abstand zueinander. Weiter bekannt sind die Durchmesser von zwei konzentrischen Kreisen. Beide dieser Kreise sind tangential zu je einer Ellipse. Wie finde ich nun die Position des Zentrums dieser beiden Kreise? Ich habe zum Verständnis eine Skizze angehängt.

Ich beschäftige mich nun schon eine ziemliche Weile mit diesem Problem, allerdings stehe ich irgendwie auf dem Schlauch und komme einfach nicht weiter.

Deutlich einfacher ist es, falls die Ellipsen auch Kreise sind (Skizze_2). Dann sind die Längen der roten Linien bekannt. Via Kosinussatz können die Winkel bestimmt werden und schlussendlich die Länge der vertikalen, grünen Linie. Mit Ellipsen habe ich jedoch Schwierigkeiten.

In der angehängten Skizze ergibt sich mit den folgenden Werten für y_{Fehler 1} mm und für x_Kreis 3.6667 mm.

r₁=2 mm, r₂=1.688 mm, a=6 mm, b=4.59627 mm, y_Versatz =0.5 mm

Comments

Aus den vielen Angaben werde ich nicht schlau.
ich kann dir nur vorschlagen das wir schrittweise vorgehen.
1.Ellipse : liegt im Zentrum des Koordinatensystems
und hat a und b als Halbsachse.
Wie sind die Werte für a und b ?

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Sorry für die anscheinend verwirrenden Angaben und vielen Dank für die rasche Hilfe.
Grundsätzlich bin ich an der allgemeinen Lösung interessiert. Die Zahlenwerte entsprechen nur dem skizzierten Beispiel. Da ich die Skizze in einem CAD Programm aufgezeichnet habe kann ich da die Werte heraus messen.
Beide Ellipsen haben die gleichen Werte für a und b (a = 6mm, b = 4.59627 mm). Sie unterscheiden sich nur durch den y-Wert (der Abstand der beiden Ellipsenzentren habe ich y_Versatz genannt).
Ich hoffe ich konnte mich nun deutlicher ausdrücken...

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Die erste Ellipse ist also

x^2 / 6^2 + y^2 / 4.59627^2 = 1

Die erste Ellipse ist also

x^2 / 6^2 + (y+0.5)^2 / 4.59627^2 = 1

Ja. ?

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So sieht das Ganze bei  mir aus. Nur der obere Teil.
Blau ist die erste Formel:
Rot die zweite.
Muß rot nach oben ?

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So wie ich den Nullpunkt gelegt habe weiss ich leider nicht wo das Zentrum der Ellipse liegt. Es ergibt sich zusammen mit dem Zentrum der beiden konzentrischen Kreisen.
Ich habe die beiden Ellipsen nun eingefärbt und die Abstände nochmals deutlich beschriftet.

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Wie gesagt kann ich dir nur ein schrittweises Vorgehen anbieten.

Das mit den Ellipsen wird wohl stimmen.

Kreis 1 berührt  mit r₁=2 mm berührt die blaue Ellipse.
Kreis 2 berührt mit r₂=1.688 mm die rote Ellipse.

Gesucht wir der Mittelpunkt der beiden Kreise bei der der Abstand
der Ellipsen r1 - r2 ist ?
Ich stelle gleich eine Skizze ein.

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Hier die Skizze.

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Ich befürchte es ist etwas komplizierter.

Kreis 1 berührt  mit r₁=2 mm berührt die blaue Ellipse. 
Kreis 2 berührt mit r₂=1.688 mm die rote Ellipse. 

--> Das ist soweit richtig.

Aber der Abstand der beiden lässt sich vermutlich nicht so einfach bestimmen. Da die Ellipsen versetzt sind liegen die Schnittpunkte (zwischen Kreis und Ellipse) nicht auf der Verlängerung des Radius.

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Zum Ausprobieren :

Tangentiale Kreise.ggb (10 kb)

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- Entweder ist es tierisch kompliziert
- oder habe habe den Dreh noch nicht herausgefunden
- oder es geht gar nicht zu berechnen.

Meine Überlegungen anhand deiner Skizze.
Ich konstruiere einmal.

Die rote und grüne Ellipse sind gegeben.

Ich nehme auf der roten Ellipse willkürlich einen Punkt.
Dies soll der der Berührpunkt  des Kreises k2 mit r = 1.688 mm
mit der roten Ellipse sein. ( e2 = k2, e2 ´= k2 ´ ).
Der Mittelpunkt des Kreises dürfte sich berechnen lassen.

Dieser Mittelpunkt gilt auch für den Kreis k1. Ein Kreis mit r1 = 2 mm
soll dann die grüne Ellipse nur berühren. ( e1 = k1 , e1 ´ = k1 ´)

Eine  andere Konstruktionsmöglichkeit.
Die beiden Ellipsen sind gegeben.
Auf einer transparenten Folie habe ich die beiden Kreise bereits
aufgezeichnet. Gleicher Mittelpunkt. Verschiedenes r.
Dann verschiebe ich die Folie bis beide Kreise Berührpunkte der
entsprechenden Ellipsen sind.
Dann habe ich die Koordinaten des Mittelpunkts ermittelt.

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Wow, danke für dieses Geogebra-File. Es entspricht genau meinem Problem.Als Ansatz muss ich also die Funktion der beiden Geraden finden. Der Schnittpunkt dieser beiden ergibt dann den gesuchten Punkt.Nur wie komme ich zu diesen Geraden? Da ich es ja aufzeichnen kann, muss es doch auch zu berechnen sein...

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Ein weiterer Ansatz:

Die Gleichungen vom Kreis 1 und Kreis 2 (k1 und k2) haben beide eine Unbekannte, nämlich x_Kreis.

Die Gleichungen von Ellipse 1 und Ellipse 2 (e1 und e2) haben beide die Unbekannte y_Fehler.

Mit k1 = e1, k1' =e1', k2=e2 und k2'=e2' sollten doch eigentlich genügend Gleichungen vorhanden sein um alles aufzulösen... Ich kriege jedoch beim Auflösen keine brauchbaren Resultate.

Was meint ihr zu diesem Ansatz? Könnt ihr mir beim Auflösen helfen?

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Hallo eg140,

genau hiermit

" k1 = e1, k1' =e1', k2=e2 und k2'=e2´ "

beschäftige ich mich zur Zeit.

Mir steht ein Matheprogramm zwar zur Verfügung aber es kommen endlos
lange Terme heraus und selbst das Matheprogramm schafft die Lösung
derzeit nicht.

Eingabe : a,b, y_versatz, r1, r2
gesucht : xm, ym ( Mittelpunkt der beiden Kreise )

Das müßte doch eigentlich alles sein.
Was ist bei dir x(kreis) y(Fehler)  ?

Ich beschäftige mich weiter damit.

Wie ist die Angelegenheit denn ?

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Hallo georgborn

Über deine Hilfe bin ich wirklich sehr froh!!! Super dass du mir hilfst.

Erstaunlich dass dieses Problem zu einer sehr aufwändigen Lösung führt, obwohl es am Computer relativ einfach aufgezeichnet werden kann.

Ich denke auch, dass diese Angaben ausreichen müssten. Denn zum zeichnen benötigt man auch nicht mehr. Ich hänge mal die Zeichnung mit den Messwerten an, eventuell hilft dir das noch etwas weiter.

Je schneller wir das Problem gelöst haben, desto besser. Mitte nächster Woche wäre ideal... Falls wir es bis in einer Woche nicht lösen können, muss ich wohl einen anderen Weg suchen.

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Dein Bild schaue ich mir gleich einmal an.

Hier der Stand der Dinge bei mir

Gleichungen
1. Funktionsterm für die 1.Ellipse  e1(x)
2.Funktionsterm für die 2.Ellipse  e2(x)
3. Funktionsterm für den 1.Kreis k1 (x )
4. Funktionsterm für den 2.Kreis k2(x)
5..8 Ableitungen von 1..4
9. e1 = k1
10 e1´ = k1´
Eigentlich bräuchte man 9 nur nach x umstellen und in 10 einzusetzen
11. e2 = k2
12 e2´ = k2´
Eigentlich bräuchte man 11 nur nach x umstellen und in 12 einzusetzen
10 und 12 wären dann 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten : xm und ym

Schauen wir einmal wie es weiter geht.

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Du hast den Kreismittelpunkt mit ( 4.911326 | 1.5 ) ermittelt ?

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Ich habe die selben Gleichungen aufgestellt. Allerdings scheitere ich zur Zeit beim Auflösen und einsetzen, da ich leider kein Matheprogram zur Verfügung habe (abgesehen von meinem Taschenrechner...).
Ich hoffe du bist da erfolgreicher.

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Upps, habe gerade gesehen dass ich nicht bei allen Skizzen den selben Nullpunkt habe. Sorry.

In der letzten Skizze liegt der Nullpunkt im Zentrum der ersten Ellipse. Die Position des Kreismittelpunktes in dieser Skizze ist also ( 3.666648 | 1 ).

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Ich habe den Punkt ( 3.666648 | 1 ) u.a. einmal in alle Gleichungen
eingesetzt. Alle Gleichungen stimmen.

Jetzt bräuchte man nur noch
9. e1 = k1
10 e1´ = k1´
Eigentlich bräuchte man 9 nur nach x umstellen und in 10 einzusetzen
11. e2 = k2
12 e2´ = k2´
Eigentlich bräuchte man 11 nur nach x umstellen und in 12 einzusetzen
10 und 12 wären dann 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten : xm und ym 

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Ich habe vergessen die Gleichungen im Kommentar oben :

Dein Bild schaue ich mir gleich einmal an.

als Bild einzustellen

Die letzten 4 Gleichungen  sind bereits die allgemeinen Lösungen

9. e1 = k1
10 e1´ = k1´
Eigentlich bräuchte man 9 nur nach x umstellen und in 10 einzusetzen

11. e2 = k2
12 e2´ = k2´
Eigentlich bräuchte man 11 nur nach x umstellen und in 12 einzusetzen

10 und 12 wären dann 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten : xm und ym

@mathecoach
mein Matheprogramm schafft die Umformungen bisher nicht.
Vielleicht kann es ja Mathematica.

---

Wer sich versuchen will

a:= 6 ;

b:= 4.59627 ; y_versatz := 0.5 ; r1:=2; r2:=1.688;

Ergebnisse

xm = 3.6666
ym = 1

@fragesteller
vielleicht hast du noch Zusatzbedingungen / Informationen

Warum handelt es sich überhaupt ? Uhrwerk ? Modeschmuck ?

Bisher gilt
e1 = k1
e1´ = k1´
ist die Krümmung auch dieselbe ? Gilt

e1 ´´ = k1 ´´

---

Natürlich kann ich noch detailliertere Infos liefert.

Es handelt sich beim beschriebenen Problem um ein Fertigungsverfahren, genauer gesagt dem Wirbeln (https://www.werkstatt-betrieb.de/_storage/asset/804551/storage/chv-zoom/file/9216315/05094335.jpg).

Die erste Ellipse stellt dabei den Verfahrweg der Schneidenspitze dar (da der Wirbelring geneigt ist, handelt es sich um eine Ellipse und keinen Kreis). Der erste Kreis ist der in dieser Position entstehende Werkstückdurchmesser.

Für die 2. Ellipse und den zweiten dazugehörigen Kreis wird die Position des Wirbelringes um y_Versatz verschoben (in der Grafik ist dies NICHT die bezeichnete "Tiefenzustellung", es wird in die andere Richtung verschoben).

Die beiden Werkstückdurchmesser können natürlich gemessen werden, und auch y_Versatz kann in der Maschine exakt eingestellt werden. Mit Hilfe dieser Berechnung soll die exakte Position des Wirbelringes gegenüber des Werkstückes bestimmt werden. Dies ist nach einem Maschinencrash oder ungenauen Werkzeugen leider nicht immer bekannt, es hat jedoch einen grossen Einfluss auf die erreichbaren Fertigungsgenauigkeiten.

Ich hoffe ich konnte dir damit helfen.

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Es gibt noch einen weiteren Lösungsansatz.Man könnte doch auch von beiden Ellipsen die Parallelkurven (mit dem Abstand des dazugehörigen Kreisradius) ermitteln. Der Schnittpunkt dieser beiden Parallelkurven müsste dann auch das Zentrum der beiden Kreise sein.
Allerdings können die Funktionen dieser beiden Parallelkurven kompliziert werden, da sie Spitzen enthalten können.
In Realität können natürlich keine Spitzen entstehen, was das mathematische Problem vermutlich deutlich vereinfacht.

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Da hast du eine gute Idee eingebracht.

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Ich habe nun den Ansatz mit den Parallelkurven etwas weiter verfolgt. Dank dieser Facharbeit ( http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Facharbeitenpdf/FacharbeitJEW.pdf ) konnte ich die Parameterform der beiden Ellipsen bestimmen.

Ellipse 1:

x1(t)=t+(r1/sqrt(((-b^2*t)/(a^2*sqrt(b^2*(1-t^2/a^2))))^2+1))

y1(t)=+-sqrt(b^2*(1-t^2/a^2))+((+-r1)/sqrt(((b^2*t)/(a^2*sqrt(b^2*(1-t^2/a^2))))^2+1))*(-1)

Für die Ellipse 2 muss vom y-Wert lediglich y_Versatz abgezogen werden.

Ich scheitere nun jedoch daran den Schnittpunkt dieser beiden Kurven zu ermitteln.

Einfach eine der beiden Formeln nach t auflösen und in der Anderen einsetzen hat bei mir leider nicht funktioniert...

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Ich beschäftige mich weiter damit.

Nachdem was ich aber über das Internet herausgefunden habe kommen
ellenlange Formeln heraus oder es geht gar nicht.
( Berührpunkt Kreis Ellipse )

Denkbar wäre auch ein Computerprogramm welches sich
in einer Schleife ( iterativ ) an die richtigen Werte herantastet.

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Ein spontaner Einfall :

Ellipse 1 - Kreis 1 beginne ich bei 89 °
( die Koordinaten des Kreismittelpunkts dürften einfach zu berechnen sein )

Ellipse2 - Kreis 2 beginne ich bei 1 °
( die Koordinaten des Kreismittelpunkts dürften einfach zu berechnen sein )

und dann lasse ich beide aufeinander zulaufen bis

Mittelpunkt 1 = Mittelpunkt 2

Das Ganze ist noch unausgegoren.

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Upps, mir ist noch aufgefallen dass die gepostete Formel nicht ganz richtig ist. So sollte es jedoch stimmen:

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Computerprogramm

In einer Schleife

Im Bereich 0.. 90 ° in 1 ° Schritten
Ellipse 1 und Kreis 1  alle Kreismittelpunkte berechnen und merken
Ellipse 2 und Kreis 2  alle Kreismittelpunkte berechnen und merken
Dann den Abstand aller Kreismittelpunke 1 mit 2 berechnen
und den geringsten Abstand herausfiltern
Dann wieder in dieser Gegend die Schleife neu beginnen mit 0.1 ° Schritten

Der Anwender kann, wenn die erforderliche Genauigkeit erreicht ist,
nach jedem Schleifendurchgang abbrechen.

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Ich habe nun eine zur Zeit akzeptable Lösung gefunden.

Und zwar verwende ich die oben angegebenen Formeln x₁(t), y₁(t), x₂(s) und y₂(s). In Excel setze ich dann für s und t beliebige Startwerte (z.B. 1). So kann ich x₁, y₁, x₂ und y₂ berechnen. Aus diesen Werten berechne ich Δx²+Δy². Mit Hilfe der Zusatzfunktion "Solver" in Excel kann ich dann angenäherte Werte für s und t bestimmen, so dass Δx²+Δy² minimal wird. Dies ergibt mir den gesuchten Punkt.

Natürlich ist dies "nur" eine angenäherte Lösung, für mich jedoch in Ordnung. Für weitere Vorschläge und Lösungsansätze bin ich jedoch nach wie vor dankbar.

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ich habe ein Turbo Pascal Programm ( MS-DOS ) geschrieben.
Für dieses Beispiel werden xm,ym nunmehr haargenau berechnet.

Bei Interesse gib einmal ein anderes Beispiel an
a, b , y_versatz, r1, r2

Wieviel Nachkomma-Stellen Genauigkeit  brauchst du ?

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Das wäre ja perfekt!!!

In meiner Lösung muss ich zwischen 3 Varianten unterscheiden. (Der Nullpunkt ist jeweils das Zentrum der ersten Ellipse)

1)  Das Zentrum der Kreise liegt ÜBERHALB beider Ellipsenzentren. (d₁ = 6mm, d₂ = 5.19851696mm, a = 6mm, b = 4.59627mm, y_Versatz = 0.5mm --> x_m = 2.503728mm, y_m = 0.8mm)

2) Das Zentrum der Kreise liegt ZWISCHEN beiden Ellipsenzentren.(d₁ = 5mm, d₂ = 4.70522257mm, a = 7.5mm, b = 7.24444mm, y_Versatz = 1.5mm --> x_m = 4.989985mm, y_m = -0.3mm)

3) Das Zentrum der Kreise liegt UNTERHALB beider Ellipsenzentren. (d₁ = 7mm, d₂ = 7.60868809mm, a = 6mm, b = 5.908847mm, y_Versatz = 0.5mm --> x_m = 2.104428mm, y_m = -1.3mm)

Drei Kommastellen sind ausreichend. Genauer kann sowieso kaum gemessen werden...

Answer 1

Ich habe jetzt keine Lust den ganzen Wust an Antworten duchzulesen:

Bekannt sind zwei identische, zueinander versetzte Ellipsen mit bekannten Achsen und bekanntem Abstand zueinander. Weiter bekannt sind die Durchmesser von zwei konzentrischen Kreisen. 

Wie lauten die Funktionsgleichungen der Ellipsen ?

Wie lauten die Durchmesser der Kreise ?

Wenn der Radius der Kreise bekannt ist brauchst du nur zu berechnen wo die Ellipsen die gleichen Krümmungsradien haben. Dann bildest du an den Punkten die Normale und in einer Entfernung des Krümmungsradius liegt dann der Kreismittelpunkt.

Comments

brauchst du nur zu berechnen wo die Ellipsen die gleichen Krümmungsradien haben

Nein. Es wird nämlich nur verlangt, dass die Kreise tangential zu den Ellipsen verlaufen, nicht jedoch, dass es außerdem Schmiegekreise sind. (Dadurch würde das Problem überbestimmt.)

---

Wenn der Radius der Kreise bekannt ist brauchst du nur zu berechnen wo die
Ellipsen die gleichen Krümmungsradien haben. Dann bildest du an den
Punkten die Normale und in einer Entfernung des Krümmungsradius
liegt dann der Kreismittelpunkt.

Schönen Dank für deinen Hinweis.
Ich muß jetzt aber erst einmal überlegen ob
die Ellipse und der Kreis den gleichen Krümmungsradius
haben müssen.
e ( x ) = k ( x )
e ´ ( x ) = k ´( x )

Ob das in diesem Fall auch gelten muß ?
e ´´ ( x ) = k ´´ (x )
Muß ich einmal schauen.

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Danke für deine Hilfe!
Die Gleichungen der Ellipsen sind:1) 1 = (x / a)² + (y / b)²2) 1 = (x / a)² + ( (y + y_Versatz) / b)²
Die Gleichungen der Kreise sind:3) (d₁ / 2)² = (x-x_Kreis)² + (y-y_Kreis)²4)  (d2 / 2)² = (x-x_Kreis)² + (y-y_Kreis)²Im skizzierten Beispiel werden folgende Werte verwendet:a = 6 mmb = 4.596267 mmy_Versatz = 0.5 mmd₁ = 4 mmd₂ = 3.376002 mmIch bin jedoch, wie irgendwo erwähnt, an der allgemeinen Lösung interessiert.

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@mathecoach
siehe meinen Kommentar mit den 12 Formeln

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Nein. Es wird nämlich nur verlangt, dass die Kreise tangential zu den Ellipsen verlaufen, nicht jedoch, dass es außerdem Schmiegekreise sind. (Dadurch würde das Problem überbestimmt.) 

Ah. Ja. dann habe ich das Problem verstanden. Wir suchen also zwei Normale die sich schneiden und zwar genau in den Abständen von den Ellipsen, wie die Radien der konzentrischen Kreise angeben.

Wie lauten denn jetzt die verbindlichen Funktionen.

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siehe meinen vorletzten Kommentar
Dein Bild schaue ich mir gleich einmal an. 

Die letzten 4 Gleichungen müssen wie dort beschrieben
umgeformt werden.
Ein Fall für Mathematica ?
Bei den Gleichungen bin ich mir sehr sicher. Mit den bereits gefundenen
zeichnerischen Lösungen stimmen die 4 Gleichungen.

Ich kann die 4 Gleichungen auch als separate Frage ins Forum stellen.

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Ich werde das nachher mal wie ich denke probieren durchzurechnen.

Answer 2

Schau mal was ich da im Anhang gebastelt habe:

Ellipsenkarussel03.ggb (15 kb)

Die Formel dazu:
 $$\vec E(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\    b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} $$ $$\vec E'(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \omega \,  \cos (\omega t)\\     - b \cdot  \omega \,  \sin (\omega t) \end{pmatrix} $$
$$\vec R_r(t)= \vec E(t) +  \frac {r} {|\vec E'(t)|} \cdot \begin{pmatrix} y(\vec E'(t) )\\-x( \vec E'(t)   ) \end{pmatrix}$$
$$\vec R_r(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\    b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} +  \frac {r} {| \begin{pmatrix} a \cdot \omega \,  \cos (\omega t)\\     - b \cdot  \omega \,  \sin (\omega t) \end{pmatrix}|} \cdot  \begin{pmatrix}      - b \cdot  \omega \,  \sin (\omega t)\\  -a \cdot \omega \,  \cos (\omega t) \end{pmatrix}$$
$$\vec R_r(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\    b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} +  \frac {r} {\sqrt{ ( a \cdot \omega \,  \cos (\omega t))^2+(    - b \cdot  \omega \,  \sin (\omega t) )^2}} \cdot  \begin{pmatrix}      - b \cdot  \omega \,  \sin (\omega t)\\  -a \cdot \omega \,  \cos (\omega t) \end{pmatrix}$$
$$\vec R_r(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\    b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} +  \frac {r} { \omega \, \cdot \,  \sqrt{ ( a \cdot  \,  \cos (\omega t))^2+(    - b \cdot   \,  \sin (\omega t) )^2}} \cdot  \begin{pmatrix}      - b \cdot  \omega \,  \sin (\omega t)\\  -a \cdot \omega \,  \cos (\omega t) \end{pmatrix}$$
$$\vec R_r(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\    b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} +  \frac {r} { \omega \, \cdot \,  \sqrt{ ( a \cdot  \,  \cos (\omega t))^2+(    - b \cdot   \,  \sin (\omega t) )^2}}\, \cdot \, (-\omega) \,\cdot \,\begin{pmatrix}       b \cdot   \,  \sin (\omega t)\\  a \cdot  \,  \cos (\omega t) \end{pmatrix}$$
$$\vec R_r(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\    b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} -  \frac {r} { \,  \sqrt{ ( a \cdot  \,  \cos (\omega t))^2+(    - b \cdot   \,  \sin (\omega t) )^2}}\,  \,\cdot \,\begin{pmatrix}       b \cdot   \,  \sin (\omega t)\\  a \cdot  \,  \cos (\omega t) \end{pmatrix}$$
$$\vec R_r(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\    b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} -  \frac {r} { \,  \sqrt{  a^2 \cdot  \,  \cos^2 (\omega t)+ b^2 \cdot   \,  \sin^2 (\omega t) }}\,  \,\cdot \,\begin{pmatrix}       b \cdot   \,  \sin (\omega t)\\  a \cdot  \,  \cos (\omega t) \end{pmatrix}$$

Comments

Inzwischen habe ich auch eine Animation mit zwei Rädern, die je innen und aussen um die Ellipse laufen veröffentlicht:

http://tube.geogebra.org/material/show/id/1517743

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Yeah, das sieht ganz gut aus! Vielen Dank dafür.

Dies ist, so wie es aussieht, eine andere Art die Parallelkurven zu beschreiben. Allerdings bin ich mir nicht sicher ob es so einfacher ist den bzw. die Schnittpunkte zwei solcher Parallelkurven zu finden.

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Die Kurven sind überhauptnicht parallel!

Oder meinst Du wenn eine Verschiebung entlang der y-Achse vorgenommen wird und die Schnitte mit der Orginalkonstruktion gesucht werden ?

Das habe ich noch nicht umgesetzt, ist aber ein Klacks. Brauchst du das noch?

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Ich habe mir mal die Voraussetzungen nochmal versucht zu ergründen:

bekannt sind die Durchmesser von zwei konzentrischen Kreisen. Beide dieser Kreise sind tangential zu je einer Ellipse.

Diese Forderung ist unerfüllbar, da die beiden Rollen beim Ablaufen unterschiedliche Spuren der Achsen erzeugen.

Ein Verschieben der beiden Ellipsen in y- Richtung lässt sich nicht durch unterschiedliche Radien der Planetenräder kompensieren.

Bitte beschreibe genau und verständlich die Anforderung des Konstruktes!

---

Es wird nämlich nur verlangt, dass die Kreise tangential zu den Ellipsen verlaufen, nicht jedoch, dass es außerdem Schmiegekreise sind.

Also können die während der Fahrt ihren Abstand zum Ellipsengraphen verändern?

Wird schwierig, wenn die einen festen Radius haben sollen ...

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Ich habe es nun nochmals aufgezeichnet.

Bekannt sind beide Ellipsen (beide mit gleichen, bekannten Halbachsen a und b, sie sind jedoch um den bekannten y_Versatz versetzt). Zudem bekannt sind die Durchmesser beider Kreise.

Gesucht ist das Zentrum der konzentrischen Kreise (also y-Korrektur) .

Die gestrichelten Linien sind die Parallelkurven der Ellipsen mit dem Abstand des dazugehörigen Kreisradius. Der Schnittpunkt dieser beiden Parallelkurven muss doch dem Kreismittelpunkt entsprechen... Somit ist die Forderung erfüllbar.

---

Für den 1.Fall hat mein Programm ( 2.5040  | 0.7998 ) heraus.

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Ahhh...

... jetzt habe ich endlich kapiert, was Du möchtest!

(glaube ich jedenfalls)

Die Kreise sollen gar nicht in den Ellipsen abrollen, sondern es geht um die Position, an der die Bedingung mit den versetzten Ellipsen und den unterschiedlichen Radien erfüllt ist, oder?

Georg hat in seinem Thread die Kreislein so gemalt, als müssten die in der Ellipse abrollen - daher bin ich da auf dem Holzweg weitergehumpelt.

Macht aber nix - wollte das ohnehin mal vertiefen das Thema - kann ich auch für was anderes noch gut brauchen.

---

Irgendwie reden wir anscheinend immer noch aneinander vorbei.

Beispiel
Ich habe 1 Ellipse. Darin ist 1 Kreis. Dieser rollt in der Ellipse ab.
Welche Positionen nehmen die Kreismittelpunkte ein ?
Was ist die Funktion f ( a,b,r ) = ...

Wenn ich diese Funktionen für beide Ellipsen/Kreise habe kann
ich den Schnittpunkt und damit den gemeinsamen Kreismittelpunkt
berechnen.

Dies ist aber vielleicht gar nicht möglich. Du hast dich ja schon ziemlich
angestrengt.

Ich habe ein Computerprogramm geschrieben welche in einem Durchgang
100 Kreismittelpunkte ( im 1.Quadranten ) je Ellipse berechnet und dann
den Schnittpunktbereich eingrenzt.

Die Berechnung lasse ich dann für diesen Bereich ein 2.Mal wiederholen
und bekomme dann ein auf 4 Stellen genaues Ergebnis.

Gern stelle ich auch dir das Programm zur Verfügung. Damit kannst du
eigene Beispiele rasch berechnen.

Das Programm stimmt mit 2 Berechnungen / Lösungen des Fragestellers
haargenau überein.

---

Dies ist kein Kommentar.
Ich nutze nur den Plotter.

~plot~ {4.948|-0.151};{ 4.903 | -0.927} ; { 4.952|-0.657} ; { 5.0 | 0.0} ; { 4.998|-0.329} ; { 5.048|-0.542}; { 5.097|-0.821}; { 5.148|0};[[4.5|5.5|-1.0|0.1 ]]~plot~