Wachstum und Zerfall: Baggersee mit Algen

Question

Brauch Hilfe bei diesem Beispiel!

Die Gemeinde plant, das Gelände um einen ehemaligen Baggersee zu einem Naherholungszentrum auszubauen. Dazu wird zunächst ein kleiner See erweitert. Jede Woche vergrößern Bagger die Wasserfläche von anfänglich 800m² um 400m². eine schnell wachsende Algenart bereitet Schwierigkeiten. Sie verdoppelt jede Woche ihre Fläche. Zu Beginn waren rund 100m² betroffen.

1. Gib Sie eine Funktionsgleichung für die Vergrößerung der Wasserfläche und eine für das Wachstum der Algen an. um Welche Funktion handelt es sich?

2. Berechne wann der Baggersee eine Größe von 2000m² hat und wann der Algenteppich 2000m² groß ist.

3. Ermittle nach wie vielen Wochen der mittlerweile neu ausgebaggerte See bereits völlig von Algen befallen  ist.

4. Ein 2500 m² großer See ist von derselben schnell wachsenden Algenart befallen. Das Wachstum der Algenfläche N(t) nach t Wochen kann näherungsweiße durch die Formel für kontinuierliches logistisches Wachstum beschrieben werden:

N(t)=  250000/100+2400e^-0,7357t

Answer 1

Die Gemeinde plant, das Gelände um einen ehemaligen Baggersee zu einem Naherholungszentrum auszubauen. Dazu wird zunächst ein kleiner See erweitert. Jede Woche vergrößern Bagger die Wasserfläche von anfänglich 800m² um 400m². eine schnell wachsende Algenart bereitet Schwierigkeiten. Sie verdoppelt jede Woche ihre Fläche. Zu Beginn waren rund 100m² betroffen.

1. Gib Sie eine Funktionsgleichung für die Vergrößerung der Wasserfläche und eine für das Wachstum der Algen an. um Welche Funktion handelt es sich?

f(x) = 800 + 400·x   [lineare Funktion]

g(x) = 100·2^x   [Exponentialfunktion]

2. Berechne wann der Baggersee eine Größe von 2000m² hat und wann der Algenteppich 2000m² groß ist.

f(x) = 2000 --> x = 3 Wochen

g(x) = 2000 --> x = x = 4.322 Wochen

3. Ermittle nach wie vielen Wochen der mittlerweile neu ausgebaggerte See bereits völlig von Algen befallen  ist.

f(x) = g(x) --> x = 4.756 Wochen   [das gelingt nur durch Näherung]

4. Ein 2500 m² großer See ist von derselben schnell wachsenden Algenart befallen. Das Wachstum der Algenfläche N(t) nach t Wochen kann näherungsweiße durch die Formel für kontinuierliches logistisches Wachstum beschrieben werden:

N(t)=  250000/100+2400e^-0,7357t

Hier fehlt noch eine Aufgabe.

Comments

4. Ein 2500 m² großer See ist von derselben schnell wachsenden Algenart befallen. Das Wachstum der Algenfläche N(t) nach t Wochen kann näherungsweiße durch die Formel für kontinuierliches logistisches Wachstum beschrieben werden:

N(t)=  250000/100+2400e^-0,7357t

Berechne wann die Hälfte des Sees bedeckt sein wird.

Danke für die Antworten!

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N(t) = 1250 --> t = 4.319768696

Probiere aus meinen Ansätzen die Rechnungen zunächst selber durchzuführen. Bei Schwierigkeiten stellst du Deine Rechnung hier zur Verbesserung rein.

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Bei Punkt 2 versteh ich nicht wie man auf 3 Wochen kommt, meine Lösung ist nämlich 2,26 Wochen.

Meine Gleichung wäre: N(t): N₀*e^k*t 

1200=800*e^k*1 / (*800)  /(ln)

ln(1200/800)= k*1 / (:1)

ln(1200/800)/1=k

k= 0,405..?

Bei Punkt 3 bin ich leider auch etwas verwirrt..

Und Punkt 4:

1250= 250000/100+2400e^-0,7357?

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Ansatz war bei mir

f(x) = 2000

Also

800 + 400·x = 2000

Bitte diese Gleichung nach x lösen. Dann kommt auch das richtige Ergebnis heraus.

Schau dir zu den Aufgaben meine Ansätze an. Schreib die Ansätze mit den Funktionen auf indem du die Funktionen einsetzt. Dann ist eigentlich immer nur nach x aufzulösen.

Achtung. Bei 3. müssen wir nähern. Das könnte passieren indem man die Gleichung nach = 0 auflöst und dann über eine Wertetabelle nach einer Nullstelle sucht.

Oder man zeichnet die Graphen der Funktionen und sucht den Schnittpunkt.

Answer 2

1) a) F(t) = 800+400*t  (t in Wochen)

b) FA(t) = 100*2^t

2) a) 2000=800+400*t

b)

2000=100*2^t

2^t =20

t = ln20/ln2

3) 800+400*t = 100*2^t  (hier brauchst du ein Näherungsverfahren, z.B. Newton, oder eine graphische Lösung, indem du den Schnittpunkt ermittelst)

4. Hier fehlt die Fragestellung.