Wie bestimmte ich das Symmetrieverhalten von x³ + 5x² - 3x - 9

Question

bisher hatte ich es in jeder Leistungskontrolle immer so gemacht, dass ich einfach geraten habe, ob die Gleichung punktsmmetrisch oder achsensymmetrisch ist, oder ob auch mal keine Symmetrie vorliegt.

Eine Aufgabe hieß z.B.:

f(x) = x³ + 5x² + 3x - 9

Abgeleitet habe ich die Aufgabe auch, was in der Aufgabenstellung so war, und falls es für die Symmetrie nötig ist:

f'(x) = 3x² + 10x + 3

f''(x) = 6x + 10

f'''(x) = 6

Wie komme ich nun auf das Symmetrieverhalten? Es gab 2 Punkte darauf und ich hatte 0/2

Ich denke mal einmal wie man es erkennt und einmal ob es dann halt auch stimmt.

Bitte einfach erklären.

Answer 1

Punktsymmetrisch ist sie wenn alle Exponenten ungerade sind.

z.B. 4x⁵-3x³+5x

Achsensymmetrisch ist sie wenn alle Exponenten gerade sind.

z.B. 5x⁴+7x²+3

Deine Funktion hat sowohl gerade als auch ungerade Exponenten, dass heißt sie ist weder Punkt- noch Achsensymmetrisch.

Comments

Deine Funktion hat sowohl gerade als auch ungerade Exponenten, dass heißt sie ist weder Punkt- noch Achsensymmetrisch.

Diese Aussage ist nur dann korrekt, wenn als Symmetriepunkt der Ursprung bzw. als Symmetrieachse die y-Achse vorausgesetzt wird.

Ansonsten ist die Funktion sehr wohl symmetrisch, da Punktsymmetrie zum Wendepunkt vorliegt.

Answer 2

Üblicherweise wird die Symmetrie auf den Ursprung bezogen ermittelt.

Achsensymmetrie
f ( x ) = f ( -x )
f ( x) = x³ + 5x² + 3x - 9

f ( x ) = x^3 + 5 * x^2 + 3 * x - 9
f ( -x ) = (-x)^3 + 5 *(-x)^2 + 3 * (-x) - 9
f ( -x ) = -  x^3 + 5 * x^2 - 3 * x - 9

f ( x ) ist ungleich f ( -x )

Punktsymmetrie
f ( x ) = - f ( -x )
- f ( -x ) =   x^3 - 5 * x^2 + 3 * x + 9

f ( x ) <> - f ( -x )

Es liegt auch keine Punktsymmetrie vor

~plot~ x^3 + 5 * x^2 + 3 * x - 9 ~plot~

Comments

Üblicherweise wird die Symmetrie auf den Ursprung bezogen ermittelt.

Diese Aussage ist nur dann korrekt, wenn grundsätzlich als Symmetriepunkt der Ursprung bzw. als Symmetrieachse die y-Achse vorausgesetzt wird.

Ob das "üblicherweise" so vorausgesetzt werden kann, hängt von Schulart, Klassenstufe und Lehrkraft ab.

Die mathematische Definition kennt diese Einschränkung nicht.

Ansonsten ist die Funktion sehr wohl symmetrisch, da Punktsymmetrie zum Wendepunkt vorliegt.

Answer 3

Hi,

für Punkt- und Achsensymmetrie gibt es klare Regeln, die ihr bestimmt aufgeschrieben habt. Hier kannst du es zum Beispiel nochmal nachlesen:

http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/symmetrieverhalten.html

An sich bezeichnet man mit diesen Symmetrien meist die Symmetrie zum Ursprung (Punktsymmetrie) oder zur y-Achse (Achsensymmetrie).

Mit ein wenig Erfahrung erkennt man bereits an der Funktion um was es sich handeln könnte.

Hat die Polynom-Funktion nur ungerade Exponenten von x, dann ist sie punktsymmetrisch.

Hat die Polynom-Funktion nur gerade Exponenten von x, dann ist sie achsensymmetrisch. 

In deinem Fall treten gemischte Exponenten auf, wodurch keine der beiden Symmetrien in diesem Sinne gegeben ist.

Verallgemeinert man aber die Symmetrien zu beliebigen Punkten oder vertikalen Achsen, so kann man zeigen, dass deine gegebene Funktion (es handelt sich um eine kubische Funktion, das bedeutet der höchste Exponent ist 3) punktsymmetrisch zum Wendepunkt ist (das gilt übrigens für alle kubischen Funktionen).

Gruß

Comments

An sich bezeichnet man mit diesen Symmetrien meist die Symmetrie zum Ursprung (Punktsymmetrie) oder zur y-Achse (Achsensymmetrie).

Da müsste man schon wissen, was der Lehrer verlangt.

Aber wenn es nur zwei Punkte für die Aufgabe gibt ...

... wird wohl nicht der allgemeine Fall verlangt worden sein - den darzustellen wäre ja schon anspruchsvoller, als nur zwei Sätze zu schreiben.