Kurvenuntersuchung: Manager prognostiziert den Umsatz mit f(t)=t^3−21t^2+120t+200 (t in Monaten)

Question

Der für den Verkauf zuständige manager eines Unternehmens prognostiziert, dass sich der Umsatz in den folgenden 12 Monaten (August bis Juli des folgenden Jahres) durch die Funktion f mit f(t)=t^3−21t^2+120t+200(t in Monaten) berechnen lässt. b) berechnen sie den zeitpunkt innerhalb der 12 Monate, an dem sich der Umsatz am stärksten ändert. c)Der Geschäftsführer ist vorsichtiger. er nimmt an, dass deer Umsatz während der betrachteten 12 Monate linear so ansteigt, dass am Anfang und am Ende des beobachtungszeitrums die Verkaufszahlen beider Prognosen gleich sind. Welche Funktion g beschreibt den Umsatz nach dieser Prognose? d) Für welchen zeitpunkt sagen die beiden Prognosen denselben Umsatz Voraus? Zu welchem Zeitpunkt ist der Unterschied der prognostizierten Umsatzzahlen am Größten?

Answer 1

f(t) = t^3 - 21·t^2 + 120·t + 200
f'(t) = 3·t^2 - 42·t + 120
f''(t) = 6·t - 42

b) berechnen sie den zeitpunkt innerhalb der 12 Monate, an dem sich der Umsatz am stärksten ändert.

f''(x) = 0
6·t - 42 = 0
t = 7

c) Der Geschäftsführer ist vorsichtiger. er nimmt an, dass deer Umsatz während der betrachteten 12 Monate linear so ansteigt, dass am Anfang und am Ende des beobachtungszeitrums die Verkaufszahlen beider Prognosen gleich sind. Welche Funktion g beschreibt den Umsatz nach dieser Prognose?

f(0) = 200
f(12) = 344

g(t) = (344 - 200) / (12 - 0) * (t - 0) + 200 = 12·t + 200

 d) Für welchen zeitpunkt sagen die beiden Prognosen denselben Umsatz Voraus?

f(t) = g(t)
t^3 - 21·t^2 + 120·t + 200 = 12·t + 200
t^3 - 21·t^2 + 108·t = 0
t(t^2 - 21·t + 108) = 0

t = 0 ∨ t = 9 ∨ t = 12

Zu welchem Zeitpunkt ist der Unterschied der prognostizierten Umsatzzahlen am Größten?

d(t) = f(t) - g(t) = t^3 - 21·t^2 + 108·t
d'(t) = 3·t^2 - 42·t + 108

d'(t) = 0
3·t^2 - 42·t + 108 = 0
t = 7 - √13 ∨ t = √13 + 7
t = 3.394448724 ∨ t = 10.60555127

d(7 - √13) = 163.7443331
d(√13 + 7) = -23.74433316

Der Unterschied ist nach 3.39 Monaten am größten.

Skizze

 

 

Comments

Bist du dir bei der letzten Aufgabe sicher ? Kann es sein, dass da bei der Differenz ein Fehler ist? Ich habe als d (t) = t^3-21t^2+108t

Answer 2

Hi!

zu a) ?

zu b) Hier muss man erkennen, dass die Wendestelle gesucht ist. Die Änderungsrate der Umsatzfunktion f wird durch die erste Ableitung f' beschrieben. Der Zeitpunkt "der stärksten Änderung" ist der t-Wert des absoluten Maximums der Änderungsrate f'. Das muss aber eine Wendestelle von f sein. Da es hier nur eine Wendestelle gibt, ist die gesucht.

c) Die lineare Funktion g(t) = a*t+b durch die Punkte (0 | f(0)) und (12 | f(12)).

d)
(1) Bei der Lösung der Gleichung f'(t) = g'(t)
(2) Bei der Lösung der Gleichung ( | f(t)-g(t) | )' = 0