Bestimmen Sie die Menge aller Vektoren, welche auf den Nullvektor abgebildet werden

Question

Hallo liebe Mathefreunde, ich steh irgendwie aufm Schlauch und weiß nicht wie ich die Aufgabe hier lösen soll...

Vlt kann mir jemand von euch erklären wie man hier vorgeht...  vielen dank schonmal :D

Eine lineare Abbildung  f : R3 => R3 ist durch folgende Angabe definiert

f(e1) = (-1/1/3)

f(e2) = (0/6/3)

f(e3) = (2/4/-3)

Bestimmen Sie die Menge aller Vektoren, welche auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer 1

Schreibe die drei resultierenden Vektoren vertikal in eine 3*3-Matrix und bestimme dann den sogenannten Kern dieser Matrix.

Comments

Bitte. Gern geschehen.

Answer 2

Dei Bilder der Basisvektoren in eine Matrix M schreiben und

M * x = 0 lösen.
Gibt nach Gauss
1   1   -  1      0
0    1     1      0
0    0     0      0
Also 3. Komponente beliebi, etwa t
und   x2 + t = 0 gibt   x2 = - t

x1  +  (-t)  - t   = 0   gibt x1  =   2t
also alle Vektoren, die auf 0 abgebildet werden sind
von der Form   (  2t   ;    -t   ;   t  )   =   t * ( 2  ;  -1   ;  1  )
also kurz: alle Vielfachen von ( 2  ;  -1   ;  1  ).

Answer 3

[-1, 1, 3; 0, 6, 3; 2, 4, -3]·[x; y; z] = [0; 0; 0]

Das ist ein Lineares Gleichungssystem was man in Abhängigkeit von z lösen kann.

x = 2.5·z ∧ y = - 0.5·z

Die Vektoren haben also die Form

[2.5·z; - 0.5·z; z]

z.B. für z = 2 ist es [5; - 1; 2]

Das könnte man jetzt mal probieren.