Question

Wie löst man folgende Bruchgleichung?

(5x²-4x-1) / (2x-6) ≥ 0

Answer 1

 ( 5x²-4x-1) / (2x-6) ist dann 0 wenn der Nenner 0 ist. Lösungsweg :

5*x^2 - 4x -1 = 0  l durch 5 teilen

x^2 -4/5*x + (2/5)^2 = 1 + (2/5)^2 l quadratische Ergänzung gesucht

( x - 2/5 )^2 = 9/25 l Wurzelziehen

 x -2/5  = ± 3/5

 x = 1

 x = -1/5

 

2) Der Term ( 5x²-4x-1) / (2x-6) ist dann größer 0 wenn

a) Zähler und Nenner positiv sind oder

b) Zähler und Nenner negativ sind

a) 5*x²-4*x-1> 0 und  2*x-6 > 0

    x - 2/5 > 3/5 -> x > 1

    x - 2/5 < -3/5 -> x < - 1/.5

   2*x + 6 > 0 -> x > -3

  aus ( x > 1 ) und ( x > -3 ) folgt x > 1

  aus ( x < -1/5 ) und ( x > -3 ) folgt  -3 < x < -1/5

 

b) 5*x²-4*x-1< 0 und  2*x-6 < 0

    ( x - 2/5)^2 < (3/5)^2

      -1/5 < x < 1

     2*x + 6 < 0 -> x < -3

  keine Schnittmenge

 

  Die Antwort für ( 5x²-4x-1) / (2x-6) >= 0  ist

  x liegt im Bereich zwischen -3 und -1/5  ( einschließlich-3 und  -1/5  )

und

  x ist größer / gleich 1

  mfg Georg

 ( wenn ich mich nicht irre ) 

 

 

 

 

 

 

Comments

Danke für deine Mühe. Ich glaube, ich hätte meinem Sohn da wohl nie helfen können. Hab selber dazugelernt. Glaub ich!

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  habe mich aber leider geirrt und den Nenner mit 2*x + 6 angenommen anstelle 2*x - 6.

  Lösungsmenge zwischen -1/5 <= x <= 1

  sowie x > 3

  mfg Georg

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Schöne übersichtliche Rechnung! Leider hattest du im Nenner den Vorzeichenwechsel bei -3 statt bei 3. Hast du ja selbst schon gemerkt!

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  Hier zur Aufheiterung einen Witz zum Thema : Ein BWL- ( Betriebswirtschaftslehre ), ein Physik- und eine Mathestudent wollen Ihr Zwischenexamen feiern und fliegen für ein paar Tage noch Mallorca.

  Bei der abendlichen Feier bricht im Hotel ein Feuer aus. Die Studenten sind eingeschlossen. Zum Innenhof hin liegt ein Swimming-Pool der über den Balkon erreichbar wäre.

  Der BWL-Student klettert über das Balkongitter und springt ab. Daneben.

  Der Physikstudent setzt sich hin, rechnet etwas, klettert übers Gitter und springt ab. Mitten in den Pool.

  Der Mathestudent rechnet noch länger, klettert übers Gitter, springt ab und verschwindet nach oben. Als man seine Berechnungen später fand entdeckte man : Vorzeichenfehler.  
 

  mfg Georg

Answer 2

Annahme die Gleichung lautet:

5x² -4x - 1/2 *x -6= 0

5x² -9/2 *x -6          |    durch 5 teilen

x² -9/10  x - 6/5=0  | nun die pq- Formel anwenden

Heraus kommen zwei Lösungen für x

x₁= 1/20 *(9 -√561)

x₂= 1/20 (9+√ 561)

 

Answer 3

(5x²-4x-1) / (2x-6) >= 0

Ich löse erst mal die Gleichung und überleg mir dann die Ungleichung noch.

(5x²-4x-1) / (2x-6) = 0

(5x²-4x-1) / (2(x-3)) = 0

Der Nenner hat die Nullstelle in x=3. Definitionsbereich ist somit IR \ {3}.

Nun 3 im Zähler einsetzen. 45 - 12 - 1 ≠ 0. D.h. die Nullstelle lässt sich nicht rauskürzen. Du hast es in x=3 mit einem einfachen Pol zu tun. D.h. Vorzeichenwechsel bei x=3

Die Nullstellen des Zählers sind damit Nullstellen des Bruchs.

5x²-4x-1= 0

Quadratische Gleichung.  Formel benutzen. x1 = -0.2 und x2 = 1.

Lösungsmenge der Gleichung: L={-0.2 , 1}

Zudem dort auch Vorzeichenwechsel.

Weitere Kommentar und Lösung der Ungleichung in folgender Skizze:

L = [-0.2,1] u ]3, ∞[ = {x| x∈ℝ, -0.2≤x≤1 ∨ x>3 }