Bruchungleichung lösen

Question

Aufgabe:

(x2 + 6x - 67)/(x+5) ≥ 2

Könnt ihr mir helfen diese Ungleichung zu lösen

Problem/Ansatz:

x ≠ -5

1. x > -5

x2 - 6x -67 = 0

x2 + 6x - 67 ≥ 2(x+5)

x2 + 6x -67 ≥ 2x + 10

x2+x-77 ≥ 0

x1/2 = -2 +- 9

=> x1 = 7 ; x2 = -11

=> (x-7)(x+11)  ≥ 0

x1<7 ; x2 > -11

2. x < -5

x2 + 6x - 67 ≤ 2(x+5)

x2 + 6x - 67 ≤ 2x + 10

x2 + 4x -77 ≤ 0

x1/2 = -2+-9

=> (x-7)(x+11) ≤ 0

x1<7 ; x2 > -11

Bin mir unsicher bei der Lösungsmenge, wie errechnet man die richtig und kann die auch vereinfacht darstellen? :)

Comments

x ≠ -5

Das ist richtig; die Definitionsmenge ist \(\mathbb D = \{ x \in \mathbb R \backslash 5 \}\)

1. x > -5

ok - ist der erste von 2 Fällen

x² - 6x -67 = 0

.. macht keinen Sinn und kann nicht sein, da dann \(0 \ge 2\) wäre

x² + 6x - 67 ≥ 2(x+5)
x² + 6x -67 ≥ 2x + 10

ok

x²+x-77 ≥ 0

das ist falsch - besser $$\begin{aligned} x^2 + 6x -67 &\ge 2x + 10 &&|\, -2x-10 \\ x^2 + 6x -2x -67 -10 &\ge 0 \\ x^2 + 4x - 77 &\ge 0\end{aligned}$$

x1/2 = -2 +- 9
=> x1 = 7 ; x2 = -11
=> (x-7)(x+11)  ≥ 0

ist richtig, aber Du musst das Ergebnis auch interpretieren können. Das Produkt links ist größer-gleich 0, wenn entweder beide Faktoren größer-gleich 0 sind, oder beide kleiner 0 $$x-7 \ge 0 \land x+11 \ge 0 \implies x \gt 7 \\ x-7 \lt 0 \land x+11 \lt 0 \implies x \lt -11$$

Eventuell ist es anschaulicher es mit der quadratischen Ergtänzung zu versuchen. Also$$\begin{aligned} x^2 + 4x - 77 &\ge 0 \\ x^2 + 4x + 4 - 4 - 77 &\ge 0\\ (x+2)^2 - 81 &\ge 0 &&|\, +81\\ (x+2)^2 &\ge 81 \\  |x+2| &\ge 9 \\ x+2 &\ge 9 &&|\, x \ge -2 \\ x &\ge 7 \\ -(x+2) &\ge 9 &&|\, x \lt -2 \\ -x &\ge 11 &&|\,\cdot (-1) \\ x &\le -11\\ \end{aligned}$$das Ergebnis ist natürlich das gleiche.

Da dieser Fall die Einschränkung \(x \gt -5\) beinhaltet, bleibt hier nur noch übrig:$$\mathbb L_1 = \{x \in \mathbb R:\space x \gt 7\}$$

=> x_1 = 7 ; x_2 = -11

Diese Angabe ist nicht korrekt. Zunächst ist die Bedingung \(x \gt -5\) (s.o.) und \(x = -11\) ein Widerspruch. Zum anderen besteht die Lösung nicht aus zwei Zahlen \(x_1\) und \(x_2\), sondern aus einer Zahlenmenge - also aus einem ganzen Haufen von Zahlen. Hier gehören alle Zahlen zu \(\mathbb L_1\), die größer-gleich der 7 sind.

Für den 2.Fall \(x \lt -5\) ändert sich an der Rechnung selbst nichts. Es wird aber bei der Multiplikation von \(x-5\) das \(\ge\) zu \(\le\). Folglich steht am Ende da$$|x+2| \le 9$$mit der Lösung \(-11 \le x \le 7\). Zusätzlich mit der Einschränkung \(x \lt -5\) bleibt dann nur$$\mathbb L_2 = \{x \in \mathbb R:\space -11 \le x \lt -5\}$$Die Lösungsmenge ist dann$$\mathbb L = \mathbb L_1 \lor \mathbb L_2 = \{x \in \mathbb R:\space -11 \le x \lt -5 \lor 7 \le x\}$$Der Plot zeigt das auch

~plot~ (x^2 +6x-67)/(x+5);2;x=-11;x=7;x=-5;[[-20|15|-20|20]] ~plot~

nur in dem Bereich von -11 bis -5 und oberhalb von +7 liegt der blaue Graph oberhalb der 2 (rot).

Answer 1

(x-7)(x+11)  ≥ 0

x1<7 ; x2 > -11

Dein Abschluss ist genau verkehrt herum, Wenn (x-7)(x+11)  ≥ 0 sein soll, muss x≤-11 oder x≥7 sein.

Vergiss auch nicht, dass dieser Teil unter der Annahme x > -5 gerechnet wurde. Wenn x>-5 ist, kann x gar nicht kleiner oder gleich -11 sein. Übrig bleibt hier nur die Zusammenfassung von x≥7 und x > -5.

Beide Bedingungen gelten nur, wenn x≥7 gilt

Im zweiten Fall x<-5 ist deine Umstellung zu x1<7 ; x2 > -11 fast richtig, du musst nur auch die Gleichheit zulassen. Lösung sind also hier alle Zahlen zwischen -11 und 7, die die angenommenen Bedingung x<-5 erfüllen.

Damit ergeben sich Lösungen der Ungleichung noch für -11≤x<-5.

Comments

Warum heißt es nicht x1<=7 ; x2 => -11?

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Warum heißt es nicht x1<=7 ; x2 => -11?

Von welchem der beiden Fälle sprichst du?

Answer 2

(x^2 + 6x - 67 ) / (x+5) ≥ 2
vereinfachen wir einmal kurzzeitig zu
( x^2 + 6x - 67 ) / ( x+5 ) = 2
( x^2 + 6x - 67 ) =  2 * ( x+5 )
x^2 + 6x - 67 = 2x - 10
pq-Formel oder quadr. Ergänzung
x = -10.31
und
x = 6.31
Punktprobe zwischen -10.31 und 6.31
x = 1
(1^2 + 6*1 - 67 ) / (1+5) ≥ 2
- 60 / 6  ≥  2 falsch
also
x ≤ -10.31 und x ≥ 6.31
und x ≠ -5

Bei Bedarf nachfragen.

Comments

Bei Bedarf nachfragen.

Tu es doch und frage den Fragesteller, dem du helfen willst, wie du auf seine richtige Lösung der quadratischen Gleichung kommen könntest.

Abgesehen von deinem Umformungsfehler von 2(x+5) zu 2x-10 scheinst du auch keinen blassen Schimmer zu haben, welche Fallunterscheidung hier noch beim Lösen der Ungleichung notwendig ist.

Die Blamage wäre dir erspart geblieben, wenn du einfach mal mit seinen Lösungen 7 und -11 die Probe in der Ausgangs(un)gleichung gemacht hättest.

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Fehlerkorrektur
( x^2 + 6x - 67 ) =  2 * ( x+5 )

Statt
x^2 + 6x - 67 = 2x minus 10
muß es heißen
x^2 + 6x - 67 = 2x plus 10
dann kommt auch
x = 7
und
x = -11
heraus

Answer 3

Mein Ergebnis sieht so aus:

\(\dfrac{x^2 + 6x - 67}{x+5}\ge2\\ \Rightarrow -11\le x<-5 \) oder \(x\ge7\)

Answer 4

\( L = \left[-11; -5\right[ \cup \left[7; \infty\right[ \)