Bruchungleichung lösen ( (x^2-2) / (2x+3) ) ≥ x

Question

Wie löst man so eine Bruchungleichung?

( (x^2-2) / (2x+3) ) >= x

wenn ich dies auflöse komme ich auf

0>=(x+1)(x+2)

Was sagt mir des jetzt aus?

Kann ja dann sagen x1=-1

x2=-2

Answer 1

Man kann verschieden rechnen.
Hier mit Fallunterscheidung.

1.Fall ( 2 * x + 3 ) > 0
x > -1.5

( (x²-2) / (2x+3) ) ≥ x  | * ( 2 x + 3 )
x^2 - 2 ≥ x * ( 2*x + 3 )
x^2 - 2 ≥ 2 * x^2 + 3 * x
x^2 + 3 * x ≤ -2  | quadr.Ergänzung
( x^2 + 3 * x + 1.5 )^2 ≤ -2 + 2.25
- 0.5 ≤ x + 1.5  ≤ + 0.5
-2 ≤ x ≤  -1
zusammen mit der Eingangsvoraussetzung x > -1.5
-1.5 ≤ x ≤ -1

2.Fall ( 2 * x + 3 ) < 0
x < -1 .5

( (x²-2) / (2x+3) ) ≥ x  | * ( 2 x + 3 )
x^2 - 2 ≤ x * ( 2*x + 3 )
x^2 - 2 ≤ 2 * x^2 + 3 * x
x^2 + 3 * x ≥ -2  | quadr.Ergänzung
( x^2 + 3 * x + 1.5 )^2 ≥ -2 + 2.25
( x + 1.5)^2 ≥ 0.25
x + 1.5 > 0.5
x + 1.5 < -0.5

x > -1
x < -2.0
zusammen mit der Eingangsvoraussetzung x < -1.5
x < -2.0

Es ergeben sich also die Lösungsmengen
-1.5 ≤ x ≤ -1
und
x < -2.0

Ich stelle einmal die Ausgangsgleichung um
( (x²-2) / (2x+3) ) >= x
( x²-2 ) / ( 2x+3 ) - x ≥ 0
Jetzt habe ich eine Funktion. Zur Lösungsmenge gehören alle x bei
denen der Funktionswert > 0 ist. Also alles oberhalb der x-Achse.

~plot~ ( x^2 - 2 ) / (  2 * x + 3 ) - x ~plot~

Comments

EDIT: Sorry. Meine Antwort ist leider falsch und sollte ein Kommentar zur Frage und nicht zu georgborns Rechnung sein. 

Du darfst den Nenner gar nicht einfach weglassen.

Wie löst man so eine Bruchungleichung?

( (x²-2) / (2x+3) ) >= x

wenn ich dies auflöse komme ich auf

0>=(x+1)(x+2)            

auf dem Weg bis hier hin hast du einen Ungleichzeichenfehler drinn. Ohne die Rechnung zu sehen, kann ich dir nicht genau sagen, wo.

Richtig wäre

0 ≤ (x+1)(x+2)     

Was sagt mir des jetzt aus?

f(x) = (x+1)(x+2)  hat als Graph eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen

 x1=-1 und x2 = -2.

Für alle Werte, die nicht zwischen x2 und x1 liegen, ist die Ungleichung gültig.

Daher L = { x| x≤ -2 oder x≥ -1} 

---

Irgendwo steckt bei euch beiden noch ein Fehler
Die Funktion hat bei x = -1.5 eine Polstelle.
L = { x | x ≤ -2 oder -1.5 ≤ x ≤ -1 }

---

Danke. 

Ich weiss. Hast du mein EDIT nicht gelesen? Ich konnte leider nicht mehr bearbeiten. 

Melde es vielleicht als Spam, da falsch.