Bruchungleichung mit Betrag: |2x+4|/x ≤ 3

Question

Gegebene Ungleichung:

$$ \frac { |2x+4| }{ x } \le 3 $$

Hierbei habe ich x ≠ 0

x ≥ 0 2x+4 ≥ 0 |-4 2x ≥ -4 |/2 x ≥ -2

x < 0 2x+4 < 0 |-4 2x < -4 |/2 x < -2

Hierbei habe ich 3 Fälle unterschieden:

Fall 1:

0 < x

Fall 2:

-2 < x < 0

Fall 3:

x < -2

Fall 1:

2x+4/x ≤ 3 | *x (x>0)

2x+4 ≤ 3x | -4

2x ≤ 3x-4 | -3x

-1x ≤ -4 | /(-1)

x ≥ 4

Fall 2:

2x+4/x ≤ 3 | *x (x<0)

2x+4 ≥ 3x | -4

2x ≥ 3x-4 |-3x

-1x ≥ -4 | /(-1)

x≤ 4

Fall 3:

-2x-4/x ≤ 3 | *x (x<0)

-2x-4 ≥ 3x | +4

-2x ≥ 3x+4 | -3x

-5x ≥ 4 | /(-5)

x ≤ -0,8

Hierbei komme ich immer nur auf die Lösungsmenge L1 [4,∞) aus dem ersten Fall

Im zweiten Fall ist das Ergebnis ja x≤ 4 für -2 < x < 0, sodass das Ergebnis glaube ich weg fällt, da es ja eigentlich zwischen 0 und -2 liegen müsste

Und im dritten Fall ist  x ≤ -0,8 für x < -2, sodass das Ergebnis glaube ich auch weg fällt, da das Ergebnis kleiner als -2 sein müsste.

Laut Rechner muss es aber auch die Lösungsmenge L2 (-∞,0) geben.

Kann mit vielleicht jemand sagen, wo ich einen Fehler habe?

Answer 1

Hier schon einmal die Skizze.
Alles unterhalb der x-Achse ist die Lösungsmenge

( x > 4 ) und ( x < 0 )

mfg Georg

Comments

Hierbei komme ich immer nur auf die Lösungsmenge L1 [4,∞) aus
dem ersten Fall
STIMMT.

Im zweiten Fall ist das Ergebnis ja x≤ 4 für -2 < x < 0, sodass das Ergebnis
glaube ich weg fällt, da es ja eigentlich zwischen 0 und -2 liegen müsste
FALSCH.
( x ≤ 4 ) und ( -2 < x < 0 ) ist -2 < x < 0

Und im dritten Fall ist  x ≤ -0,8 für x < -2, sodass das Ergebnis glaube ich
auch weg fällt, da das Ergebnis kleiner als -2 sein müsste.
FALSCH.
x ≤ -0,8 und x < -2 ist x < -2

Die Fälle 2 und 3 zusammen ergeben -∞ ..  0

Mal dir einmal einen Zahlenstrahl und trage die von dir gefundenen Bereiche
ein. Es stimmt alles.
Sollte dir das nicht gelingen dann male ich dir das einmal auf.

mfg Georg

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Danke für den Tipp mit dem Zahlenstrahl, hat wirklich geholfen.

Answer 2

Im zweiten Fall ist das Ergebnis ja x≤ 4 für -2 < x < 0, sodass das Ergebnis glaube ich weg fällt, da es ja eigentlich zwischen 0 und -2 liegen müsste

Alle Zahlen zwischen -2 und 0 sind kleiner als 4. Daher wäre (richtig gerechnet vorausgesetzt) 

L2 = (-2;0)

Und im dritten Fall ist  x ≤ -0,8 für x < -2, sodass das Ergebnis glaube ich auch weg fällt, da das Ergebnis kleiner als -2 sein müsste.

Gleich wie eben. Alle Zahlen kleiner als -2 sind auch kleiner als -0.8.

==> L3 = (-unendlich, -2).

Betrachte x = -2 noch separat. 

Comments

Achso, also müssen die Zahlen, die man am Anfang für x≥0 und x<0 berechnet hat immer in die Ergebnisse passen, die man am ende in den einzelnen Fällen erhält?

Ich dachte es wäre immer genau umgekehrt, dass die Zahl, z.B. in dem Fall für x≤4 in -2 < x <0 passen muss, und da x=4 ist und somit größer als null ist, das Ergebnis ausgeschlossen wird. 

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|2x+4|/x ≤ 3

1. Fall x>0

|2x+4|/x ≤ 3    

(2x + 4) ≤ 3x

4 ≤ x

L1 = (4, unendlich)

2. Fall -2 ≤x< 0

|2x+4|/x ≤ 3    

(2x + 4) ≥ 3x

4 ≥ x

L2 = [-2, 0)

3. Fall x<-2

|2x+4|/x ≤ 3    

-(2x + 4) ≥ 3x

-4 ≥ 5x

-0.8 ≥x

L3 = (-unendlich,-2)

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Die Fallunterscheidung gibt dir die Grundmenge an, aus der die Elemente der Lösungsmenge stammen dürfen.

Aber das hast du, glaub ich, nun begriffen.

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Bitte. Gern geschehen!

Der Plot ist leider gerade etwas unglücklich in 2 Teile geteilt. Aber man erkennt gut, in welchen Bereichen die blaue über / unter der roten Linie verläuft.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%7B%7C2x%2B4%7C%2Fx+%3B+3+%7D

Kontrolle der Lösung dann so: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7C2x%2B4%7C%2Fx+≤+3