Bruchungleichung mit zwei Quadraten: (x^2 - 1)/(x^2 - 9) ≥ 0

Question

Mit folgender Aufgabe komme ich nicht ganz klar, wg. der Fallunterscheidung:

$$\frac { { x }^{ 2 }-1 }{ { x }^{ 2 }-9 } \ge 0$$

Im ersten Fall (x²-9)>0 habe ich die Ergebnisse: x>=1, x>=-1, x>3, x>-3

Im zweiten dann x<=1, x<=-1, x<3, x<-3.

Ich weiß dass die Lösung ist:

x<-3 oder -1<=x<=1 oder x>3.

Aber ich sehe nicht wie ich dahin komme von meinen Ergebnissen (falls die überhaupt stimmen).

Answer 1

Hallo \(\int\), 

der Nenner darf nicht \(0\) sein. Für \(x<-3\) und \(x>3\) ist  \(x^2-9 > 0\) erfüllt (das kann man an der Gleichung ablesen). Der Zähler nimmt für \(-1\leq x\leq 1\) den Wert \(0\) an. In diesem Fall sind die negativen Ergebnisse des Nenners egal. Für \(x=1\) ist z.B. \(1^2-9=-8\), was nicht \(\geq 0\) ist (ist aber egal, da \(0\) durch etwas Negatives immer noch \(0\) ist). Aus diesem Grund gehen auch die Werte zwischen \(-3<x < -1\) und  \(1<x < 3\) nicht, da der Nenner in diesen Fällen negativ wird und der Zähler einen von \(0\) verschiedenen Wert annimmt, was wiederum zur Folge hat, dass die Bedingung \(\geq0\) nicht erfüllt ist.

Reicht Dir das als Begründung der Lösung?

André

Answer 2

Du musst Zähler und Nenner betrachten.

Der Zähler muss größer/gleich Null sein, der Nenner größer Null oder: Zähler und Nenner kleiner Null.

Answer 3

Hier mein Lösungsweg

Es ergibt sich die von dir angegebene Lösung
Hier der Graph. Alles oberhalb der x-Achse
gehört zur Lösungsmenge.

mfg

Answer 4

Ein Bruch ist größer als 0, wenn Zähler und Nenner das gleiche Vorzeichen haben.

Fall 1: x²-9>0 und x²-1>0 also (x> 3 ∨ x< - 3) ∧ (x>1 ∨ x< - 1) also (x> 3 ∨ x< - 3)

Fall 2: x²-9<0 und x² -1<0 also (- 3<x< 3 ) ∧ (- 1<x<1 ) also  (- 1<x<1 ) 

Lösungs Menge: {x| (- 3<x< -1 ) ∨ (1<x< 3 )}.
 

Comments

Hallo Roland,
deine zusammenfassende
Lösungsmenge stimmt nicht.
Siehe meine Lösung.

-unendlich bis -3
zwischen -1 und 1
3 bis unendlich

mfg Georg

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Hallo Georg, du hast natürlich recht. Aber, wie du ja weißt: Nur wer gar nichts tut, macht keine Fehler.

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Hallo Roland,

meine Einstellung zu Fehlern ist bekannt. :

Jedermann kann mich auf Fehler oder
vermeintliche Fehler aufmerksam machen.

Fallen mir Fehler oder vermeintliche Fehler in
anderen Antworten auf mache ich darauf aufmerksam.

Kann ja alles dann geklärt werden.

Aber, wie du ja weißt: Nur wer gar nichts tut,
macht keine Fehler.

Der Spruch trifft zwar zu, aber nur wenn er in
der richtigen Situation angewendet wird ,
aber es gibt Gegenbeispiele

Du kannst schwimmen und steht am Ufer
eines Badesees. In 10 m Entferung vom
Ufer schwimmt ein Kind. Das Kind bekommt
eine Krampf und ruft um Hilfe.
Nichtstun wäre hier das Falsche.

mfg Georg

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Wieder einmal hast du recht. Tatsächlich! Wer gar nichts tut, macht möglicherweise auch einen Fehler.