Konvergenz von Folgen und Reihen. Bsp. Folge mit an=(1-i*n)(1+i*n^2)/(2n^3 + 1)

Question

Aufgabe 1:

Zeige, da \( \beta \) die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit

\( a_{n}=\frac{(1-i \cdot n) \cdot\left(1+i \cdot n^{2}\right)}{2 n^{3}+1} \in \mathbb{C} \)

konvergiert und bestimme ihren Grenzwert, wobei \( i \in \mathbb{C} \) die imaginäre Einheit ist.

Aufgabe 2:

Untersuche die Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} 3^{-n} \cdot\left(1+\frac{1}{n^{2}+1}\right)^{n} \) auf Konvergenz.

Aufgabe 3:

Untersuche die Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left((-1)^{n}+5\right)^{n}} \) auf Konvergenz.

Answer 1

Klammer auflösen gibt an = ( n^3 + i*n^2 - i*n + 1 ) / ( 2n^3 + 1 )
                                                = ( 1 + i / n   -  i / n^2  + 1/n^3 )  /  (  2  +   1/ n^3 )
also GW = 1/2

Answer 2

Nummer 3.

Σ 1/4^n =  Σ (1/4)^n ist, als konvergente geometrische Reihe, eine konvergente Majorante deiner Reihe.

Daher konvergiert Nr. 3.

Zu Nr. 2.

Suche mal bei Wikipedia zum Stichwort Eulersche Zahl. Könnte sein, dass du dort etwas Ähnliches, wie die zweite Klammer deiner Summanden findest.