Reihen und Folgen: Bestimmen Sie a_n-1 + 4a_n / a_2n. Folge: a_n= 1/2^2n

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Folge \( a_{n}=\frac{1}{2^{2 n}} \)

Bestimmen Sie \( \frac{a_{n-1}+4 a_{n}}{a_{2 n}} \)

Lösung: \( 2^{2 n+3} \)

Answer 1

a_n-1 = 1/2^2(n-1)

a_2n = 1/2^2*2n

Diese beiden Terme neben an in den obigen Term einsetzen, ergibt

(1/2^2(n-1) + 4/2²ⁿ )/(1/2^2*2n) = (1/2^2n-2 + 2*2/2²ⁿ )/(1/2⁴ⁿ)

2^2n-2 = 2²ⁿ/2² = 2²ⁿ/4

-> (4/2²ⁿ + 2*2/2²ⁿ )/(1/2⁴ⁿ) = 2*2*2*2^-2n *2⁴ⁿ = 2^{(1+1+1-2n+4n)} = 2^{2n +3}