a1 = 1/1 + 1/2
a2 = 1/2 + 1/3 + 1/4
a3 = 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6
a4 = 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8
Du hast recht, da kommt immer was dazu. Dein Argument ist aber zu ungenau, weil auch was wegfällt. Und es fällt sogar mehr weg, als hinzukommt.
Die Folge ist trivialerweise nach unten beschränkt, weil 0 eine untere Schranke ist, weil 1/n > 0 für jedes natürliche n ist.
Allgemein ist an+1 = an - 1/n + 1/(2n+1) + 1/(2n+2).
Wenn du jetzt nachweisen kannst, dass - 1/n + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) < 0 ist, dann ist die Folge monoton fallend.
Wenn die Folge monoton fallend ist, dann ist sie durch das erste Folgeglied nach oben beschränkt.