Betragsungleichung mit Bruch lösen: ( | x+5| - 4) / | x + 1| ≥ x

Question

Betragsungleichung mit Bruch lösen:

$$\frac { | x + 5 | - 4 } { | x + 1 | } \geq x$$

Ich wollt mal fragen, wie das hier geht, weil jetzt kann ich ja den Betrag nicht so leicht auflösen

Answer 1

(|x + 5| - 4) / |x + 1| ≥ x

Fall 1: x ≤ -5

(-(x + 5) - 4) / (-(x + 1)) ≥ x --> x ≤ -3 ∨ -1 < x ≤ 3 --> x <= -5

Fall 2: -5 ≤ x < -1

((x + 5) - 4) / (-(x + 1)) ≥ x --> x < -1 --> -5 ≤ x ≤ -1

Fall 3: x > -1

((x + 5) - 4) / (x + 1) ≥ x --> x ≤ 1 --> -1 < x ≤ 1

Lösungszusammenfassung

x ≠ -1 ∧ x ≤ 1

Answer 2

Hallo like,

mit Hilfe der Nullstellen der Terme in den Beträgen findest du Intervalle, in den sich das Vorzeichen beider Terme in den Beträgen nicht ändert:

              -∞                - 5                 -1               ∞

x+5                  -                   +                   +

x+1                  -                   -                    +

In diesen drei Intervallen kannst du die Beträge wie gewohnt auflösen ( = 3 Fälle)

  x < - 5   ;  -5 ≤ x < -1  ;  x > -1

(Beachte, dass die Gleichung für x = -1  nicht definiert ist.)

Dann musst du halt 3-mal eine Bruchgleichung lösen und jeweils die Fallbedingung beachten.

Kontrolllösungen:

L₁ = ] −∞ ; -5 [

L₂ = [ - 5 ; -1 [ 

L₃ = ] -1 ; 1 ]

L = ] - ∞ ; 1 ]  \  {-1} 

Gruß Wolfgang