Konvergenz einer Folge beweisen. (a_n) mit a_n = summe(k=n bis 2n) 1/k

Question

Aufgabe 4.
Ist die Folge (a_n) mit a_n = summe(k=n bis 2n) 1/k konvergent?
Hinweis: Beweisen Sie, dass die Folge beschränkt und monoton ist.
[10 Punkte]

Ich habe geschrieben, dass die Folge mit dem ersten Folgeglied 1/n nach unten
beschränkt ist, weil ja immer mehr 1/k dazu addiert werden, dann ist das zweite
a_n = 1/n + 1/n+1 also kann kein a_n kleiner werden als das erste a_n.
Die Folge ist auch nach oben beschränkt, denn n muss ja eine endliche Zahl sein
und wenn N > n ist dann ist die Folge mit a_n = summe(k=n bis 2N) nach oben beschränkt.
Und die Folge ist monoton, weil immer mehr dazu kommt: 1/n + 1/n+1 + 1/n+2 usw.

Kann man das so machen?

Comments

@Gast fx09712 Mir scheint, als ob du nicht so richtig durchdrungen hast, wie die einzelnen Folgeglieder gebildet werden. Um das zu ändern kannst du dir die ersten paar Folgeglieder explizit berechnen. Dann ist dir auch anschaulich klar, wie die Folge aussieht. Diese Anschauung kannst du dann verwenden um Ideen für deinen Beweis zu finden.

Answer 1

a₁ = 1/1 + 1/2

a₂ = 1/2 + 1/3 + 1/4

a₃ = 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6

a₄ = 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8

Du hast recht, da kommt immer was dazu. Dein Argument ist aber zu ungenau, weil auch was wegfällt. Und es fällt sogar mehr weg, als hinzukommt.

Die Folge ist trivialerweise nach unten beschränkt, weil 0 eine untere Schranke ist, weil 1/n > 0 für jedes natürliche n ist.

Allgemein ist a_n+1 = a_n - 1/n + 1/(2n+1) + 1/(2n+2).

Wenn du jetzt nachweisen kannst, dass - 1/n + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) < 0 ist, dann ist die Folge monoton fallend.

Wenn die Folge monoton fallend ist, dann ist sie durch das erste Folgeglied nach oben beschränkt.

Answer 2

$$a_n-a_{n+1}=\sum_{k=n}^{2n}\frac1k-\sum_{k=n+1}^{2n+2}\frac1k=\frac{3n+2}{2n(n+1)(2n+1)}>0.$$

Comments

Damit weißt du nach, dass die Folge streng monoton Fallend ist oder?

Ok. also ist die Folge nach oben beschränkt.

Damit müsste dann nur noch nachgewiesen werden, dass die Folge auch nach unten beschränkt ist.

Zeigt man das am besten dadurch, dass

lim (N --> ∞) ∑ (n = 1 bis N) ((3·n + 2) / (2·n·(n + 1)·(2·n + 1)))

konvergent ist.

Majorante

lim (N --> ∞) ∑ (n = 1 bis N) ((4·n) / (4·n^3 + 6·n^2 + 2·n))

lim (N --> ∞) ∑ (n = 1 bis N) (4 / (4·n^2 + 6·n + 2))

Majorante

lim (N --> ∞) ∑ (n = 1 bis N) (1 / n^2)

Da diese Reihe konvergiert muss auch die erste Reihe konvergieren.