Konvergenz von Reihen bis Unendlich. Folge aus Teilsummen resp. Partialsummen

Question

Aufgabe:

Def. Sei \( \left(a_{n}\right) \) eine Folge reeller Zahlen und \( s_{n}:=a_{1}+\ldots+a_{n} . \) Wenn die Folge
\( \left(s_{n}\right) \) konvergiert, so sagt man, dass die Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) konvergiert und schreibt
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) für ihren Grenzwert. Wenn \( \left(s_{n}\right) \) divergiert, so sagt man, dass die Reihe
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) divergiert. Die Zahlen \( s_{n} \) heißen die Partialsummen von \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \)

Ich verstehe nicht warum eine Reihe, die bis unendlich geht konvergiert, wenn die dazugehörige Folge konvergiert.

Eine Reihe konvergiert doch, wenn ihre Folge eine Nullfolge ist.

Wenn jetzt aber die Folge gegen zB 2 konvergiert, dann wird doch bei der Reiche bis Unendlich immer wieder 2 dazuaddiert und daher müsste die Reihe doch divergieren.

Answer 1

Es geht hier darum, dass eine Teilsummenfolge konvergiert. Reihe ist einfach eine andere Bezeichnung für Teilsummenfolge.

Eine Reihe konvergiert nicht immer, wenn ihre Folge eine Nullfolge ist. Möglich ist das aber.

Wenn ihre Folge keine Nullfolge ist konvergiert sie bestimmt nicht.

Wenn du ein durcheinander mit den beiden Verwendungen von n in diesem Text hast.

Schreib besser konsequent nur für die Nummer der Teilsummen n:

s_n = a₁ + … + a_n       

und k für den laufenden Summationsindex

\( s_{n}=\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \)

Beanwortet das die Frage?

Answer 2

Du verstehst das so, dass die Reihe konvergiert, wenn die Folge (an) konvergiert. In der Definition steht aber, dass die Reihe konvergiert, wenn die Folge (sn)=a1+a2+...+an konvergiert. (sn) ist also schon die Summe mehrerer (an).