Bestimmen Sie bei der gegebenen Reihe die Folge der Partialsummen

Question

 ich habe Probleme die Folge der Partialsummen dieser Reihe zu bestimmen:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{an} \)   mit a_n = 3ⁿ / (5ⁿ+1)

Ich bin so vorgegangen:

s₁ = a₁= 1/2

s₂=a₂= a₁+a₂= 1/2+9/26= 11/13

s₃= a₃= 11/13+27/126= 1737/1638

..

s_n-1= ?

s_n= ?

Wie kann ich s_n als Folge der Partialsummen bestimmen?

Answer 1

Die Folge kannst du aber ganz gut abschätzen:

Jeder Summand ist größer als   3^n / 5^n

also jede Partialsumme größer als die entsprechende

Summe der geometrischen Folge q_n mit q_n = (3/5)^n

Diese konvergiert, da |q| < 1 , also konvergiert deine

Folge der Partialsummen auch (Majorantenkriterium).

Comments

Aber wie kann ich die Folge der Partialsummen schreiben ?

s_n= \( \sum\limits_{k=1}^{n} \)  ???

Meine Aufgabe lautet:

Beweisen Sie die Konvergenz der folgenden Reihe:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \)a_n    mit a_n = 3ⁿ / (5ⁿ+1)

Gehen Sie dabei wie folgt vor:
a) Betrachten Sie die Folge der Partialsummen.
b) Schätzen Sie geeignet nach oben ab.
c) Erinnern Sie sich an die geometrische Summenformel.

Also b) und c) habe ich gut verstanden! Aber ich weiß nicht wie ich bei a) antworten soll.

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"Betrachtet" hast du sie doch und bemerkt:

Für eine Konvergenzaussage muss ich sie abschätzen.

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"a) Betrachten Sie die Folge der Partialsummen."

" Aber ich weiß nicht wie ich bei a) antworten soll."

Da steht nichts davon, dass du was beantworten sollst.

"Betrachte" heißt: Sieh sie dir an.

Wenn du zusätzlich noch willst:
Freue dich, wie schön sie aussieht.
Erkenne eventuell Gemeinsamkeiten und Unterschiede zu früher betrachteten Folgen.

"Also b) und c) habe ich gut verstanden!"

Und warum? Weil du vorher erfolgreich betrachtet hast.