Folgen und Reihen auf Konvergenz überprüfen. Bsp. a_(n+1):=√(2a_(n) + 3)

Question

a) Untersuche folgende Folgen auf Konvergenz und berechne ggf. den Grenzwert:

(1) \( a_{n}=\frac{\left(2 n^{2}+3\right) \cdot \sin (n)}{5 \cdot\left(\begin{array}{c}n \\ 3\end{array}\right)} \)

(2) \( a_{n}=\frac{1+2+\ldots+n}{n^{2}} \)

(3) \( a_{0} \in[1,3), a_{n+1}=\sqrt{2 a_{n}+3} \).

b) Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz. Die Berechnung der Grenzwerte im Falle der Konvergenz ist nicht erforderlich.

(1) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^{n}}{3^{n} \cdot n !} \)

(2) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot e^{i n} \).

c) Zeige, dass die Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n \cdot(n+1) \cdot(n+2)} \) konvergiert und berechne ihren Grenzwert.

Comments

a(2). oben Formel für arithmetische Reihen benutzen.

a(3). Was bekommst du als a bei a = √(2a + 3) ? 

Das wäre ein Grenzwert, der in Frage kommt. Du musst aber die Konvergenz noch begründen.

Answer 1

$$\text{(c) Rechne nach, dass }\frac2{n(n+1)(n+2)}=\frac1n-\frac2{n+1}+\frac1{n+2}\text{ gilt}.$$$$2\cdot\sum_{n=1}^N\frac1{n(n+1)(n+2)}=\sum_{n=1}^N\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)-\sum_{n=1}^N\left(\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right)$$$$=\left(1-\frac1{N+1}\right)-\left(\frac12-\frac1{N+2}\right)=\frac12-\frac1{N+1}+\frac1{N+2}.$$