Grenzwert und Konvergenz von rekursiv definierter Folge a_(1) = α, a_(n+1) = (2a_(n) + 1)/3, wobei 0<a<1?

Question

Es sei 0 < α < 1 und die Folge (an) sei rekursiv definiert durch   a1 = α,    an+1 = (2an + 1)/3

Zeigen Sie, dass die Folge (an) konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert

Comments

Konvergenz zeigen und Grenzwert bestimmen von a(n+1)=((2*p)+1)3) mit a(1)=p, 0<p<1 mit n Element der natürlichen Zahlen

Meine Frage steht oben. Ich habe einen meiner Meinung nach wichtigen Schritt schon getan nämlich gezeigt, dass für (2*p)+1 gilt: 1<2*p<3.

Das komische ist, dass ich weiss was ich noch zeigen müsste um die Konvergenz zu beweisen (die nachdem ich die Folge grafisch gezeichnet habe, gegen 1 läuft). Ich denke ich liege nicht falsch wenn noch zu zeigen ist, dass (2*p)+1 gegen 3 tendiert bzw. p gegen 1. Nur komme ich nicht darauf oder es ist einfach zu spät und ich brauche Schlaf. Vielleicht könnte mir jemand einen kleinen Hieb verpassen damit ich es selber noch hinbekomme.

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Lautet die Folge wirklich

$$  a_{n+1} = (2p+1) \cdot 3  $$

Ich glaube das stimmt so nicht.

Answer 1

Hier mal die Möglichkeiten für den Grenzwert a, für den Fall, dass du zeigen kannst, dass deine Folge konvergiert.

an+1 = (2an + 1)/3 

a = (2a + 1)/3 

3a = 2a + 1

a = 1.

Wenn die Folge konvergiert, ist der Grenzwert a = 1.