Zeigen: a_(n) − a_(n)+1 ≥ 0 bei rekursiv definierter Folge

Question

Wäre sehr dankbar für eine formale Lösung, speziell (b).

Answer 1

a_n - a_n+1 

=  a_n   -   (a_n^2 + 2 ) / 2a_n  

=  (  2a_n^2   -   (a_n^2 + 2 ) )/ ( 2 a_n  )

=   ( a_n^2   -  2 ) )/ ( 2 a_n  )

= ( a_n-√2)(a_n+√2) / ( 2a_n )    #

Nun sieht man an der Rekursion    a_n+1    =  (a_n^2 + 2 ) / 2a_n  

dass alle a_n positiv sind, denn wenn eines positiv ist, dann entseht das

nächste durch Division zweier positiver Terme.

Also kann bei # nur ein negatives Ergebnis entstehen, wenn

a_n < √2   wäre.

Das das nicht eintreten kann beweist man leicht durch vollst. Induktion:

Beh: Für alle n ist   a_n ≥ √2   .

Für n=1 ist das gegeben und wenn wenn es für ein n gilt, dann ist zu

zeigen :  Es gilt auch für n+1, also zu prüfen

a_n+1 ≥ √2   .

(a_n^2 + 2 ) / 2a_n  ≥ √2      Da an positiv, kann man multiplizieren

a_n^2 + 2 ≥ 2√2 *  a_n  

a_n^2 - 2√2 * a_n  + 2 ≥ 0

( a_n -   √2 ) ^2 ≥ 0    und Quadrate sind nie negativ.

Damit wäre b) gezeigt.

Die Folge ist also monoton fallend und wie gerade

gezeigt wurde nach unten beschränkt, also konvergent.

Dann konvergieren sowohl a_n als auch a_n+1 gegen einen Grenzwert g,

für den wegen der Rek. gleichung gilt

g = ( g^2 + 2 ) /  2g

2g^2 = g^2 + 2

g^2 = 2  und weil alle Folgenglieder pos. sind,

kann der Grenzwert nicht neg, sein, also g = √2