Konvergenz von rekursiv definierter Folge nachweisen. a_(n+1) = (a_(n)^2 + 2)/3

Question

Könnte jemand mir zeigen wie das geht danke..

Konvergenz von rekursiv definierter Folge nachweisen. a_(n+1) = (a_(n)^2 + 2)/3 

Answer 1

es ist jedenfalls (a_n² + 2) / 3   < 1

<==>    a_n² + 2   < 3

<==>    a_n²  < 1

da die Folgenglieder  nie negativ werden, also alle < 1.  #

Damit ist a_n+1 - a_n =   ( a_n-1 ) (a_n+1 -2 ) / 3  immer positiv, also

die Folge streng monoton wachsend.

Und für den Grenzwert g gilt

g =  ( g² +1 ) / 3

also g=1 oder g=2 .  Wegen # also g=1.

Comments

> also alle < 1

was natürlich nicht unwesentlich daran liegt, dass a₁ = 1/2 ist.

Sollte man wohl in die Argumentation einbauen.