Monotonie und Konvergenz einer Folge. rekursiv: a_(n+1) = 2a_(n) - 1/2 a_(n)^2

Question

alle zusammen! :)

Zu dieser Aufgabe hätte ich zunächst eine Frage:

                                                 

   

Nun steht in der Lösung, dass a_n gegen 2 konvergiert.... Und ich komme einfach nicht darauf wieso.

Wäre dankbar wenn mir jemand helfen kann :)

Bis dann!

rekursiv: a_(n+1) = 2a_(n) - 1/2 a_(n)^2 

Answer 1

Tipp: Es ist \(a_{n+1}=2a_n-\frac12a_n^{\,2}=2-\frac12(2-a_n)^2\le2\).

Comments

Habs glaub ich jetzt verstanden, dankeschön! ;)

Answer 2

und wenn a_n gegen einen Grenzwert g konvergiert, dann muss ja gelten

g = 2g  - 1/2 g² 

- g =  - 1/2 g² 

  2g  - g²  = 0

g * ( 2 - g ) = 0 


also g = 0 oder g = 2 .

Comments

Hm, das heißt also gegen einer dieser Werte muss er konvergieren. Und wie ist man darauf gekommen, dass es 2 sein sollte?

:)

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Oh mit dem oberen TIpp habe ich es glaub ich verstanden! :)