0 Daumen
1k Aufrufe

hi,

die aufgabenstellung ist leider nicht ordnungsgemäß in den Fragetitel einfügbar.

mir stellt sich folgende Aufgabe:

Bild Mathematik

eine formale lösung ist wünschenswert, damit ich sich anschließende aufgaben besser einordnen kann

Avatar von

2 Antworten

+2 Daumen


die Aussage gilt offenbar für \(n=1\). Für alle \(n>0\) gilt$$\begin{aligned}a_{n+1}^2-2&=\left(\frac{a_n^2+2}{2a_n}\right)^2-2\\&=\frac{a_n^4+4a_n^2+4}{4a_n^2}-2\\&=\frac{a_n^4-4a_n^2+4}{4a_n^2}\\&=\left(\frac{a_n^2-2}{2a_n}\right)^2\ge0.\end{aligned}$$Daraus folgt (a).
Avatar von
0 Daumen

f(1)=2,f(n+1)=(f(n)^2+2)/(2f(n)) 

Lösung 1:

f(n+1)=f(n)/2 +1/f(n) konvergente Folge mit positiven Startwert ist gleich, wenn alle 3 gleich:

x=x/2+1/x -> quadratische Gleichung

x=+/- sqrt(2) {Wurzel} -> aber nur positiv interessiert

Lösung 2:

in explizite Funktion wandeln (kompliziert):

f(n)=sqrt(2)*coth(2^{n-1}*acoth(sqrt(2)))

coth konvergiert gegen 1, also lim f(n) = sqrt(2) * lim 1 = sqrt(2) alle positiv

Der Iterationsrechner bestätigt beide Lösungswege:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#@Q2)*coth(@P2,x-1)*y)@Ni=0;a=(log(1+1/@Q2))-log(1-1/@Q2)))/2;@C0]=@Q2)+2;@C1]=2;aD[0]=@Q2)+2;aD[1]=2;@N@Bi]=Fxy(i,a);@Ci+2]=(@Ci+1]*@Ci+1]+2)/@Ci+1]/2;aD[i+2]=aD[i+1]/2+1/aD[i+1];@Ni%3E9@N0@N0@N#

Bild Mathematik

Avatar von 5,7 k

Nach Grenzwerten ist nicht gefragt.

Gast: Wer weiss, was da bei b), c) ... noch alles kommt.

Mit 2>=a[n]>=sqrt(2) ; n>=1; und a[n] monoton fallend

ergibt sich automatisch nach dem Quadrieren

4 >= a[n]^2 >=2 und nach -2 auf beiden Seiten

2 >= (a[n]² - 2) >= 0 ; n>=1

Es war einfach nur ein anderer Lösungsweg ( wie meist bei meinen Antworten).

Andere Lösungswege sind nicht falsch, sondern bestärken die Richtigkeit des Ergebnisses.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community