Question

Es seien p ≥ 2 eine natürliche und a > 0 sowie x₁ > 0 reelle Zahlen. Für n ≥ 2 sei x_n rekursiv definiert durch:

$$ { x }_{ n }:=\frac { 1 }{ p } ((p-1){ x }_{ n-1 }+\frac { a }{ { x }_{ n-1 }^{ p-1 } } ). $$

 

Zeigen Sie für n ≥ 2, das x_n > 0 gilt, sowie

a)

$$ { x }_{ n }={ x }_{ n-1 }(1+\frac { 1 }{ p } (\frac { a }{ { x }_{ n-1 }^{ p } } -1)), $$

b)

$$ { x }_{ n }^{ p }\ge a, $$

c)

$$ ({ x }_{ n+1 }{ -{ x }_{ n })x }_{ n }^{ p-1 }\le 0. $$

 

Folgern Sie, dass (x_n) gegen die eindeutig bestimmte positive Lösung der Gleichung x^p = a konvergiert.

In der b) soll man die Bernoullische Ungleichung benutzen.

Mit dieser Aufgabe komme ich leider überhaupt nicht zurecht.

Answer 1

Hi,
die Gleichung $$ (1)\quad x_n=\frac{1}{p} \left[ (p-1)x_{n-1}+\frac{a}{x_{n-1}^{p-1}}  \right] $$ kann wie folgt umgeschrieben werden. In der eckigen Klammer den Term \( x_{n-1} \) ausklammern und den Term \( \frac{1}{p} \) rein multiplizieren führt zu
$$ (2)\quad x_n=x_{n-1} \left[ 1-\frac{1}{p}+\frac{a}{p}\frac{1}{x_{n-1}^p} \right]=x_{n-1} \left[ 1+\frac{1}{p}\left( \frac{a}{x_{n-1}^p} -1\right) \right] $$ und damit zu (a)

Das \( x_n>0 \) ist, folgt aus der Tatsache, das in (1) in der eckigen Klammer nur positive Terme stehen und somit der ganze Ausdruck positiv ist.

Aus (2) folgt mit der Bernoullischen Ungleichung das gilt
$$ (3)\quad x_n^p=x_{n-1}^p\left[ 1+\frac{1}{p}\left( \frac{a}{x_{n-1}^p} -1\right) \right]^p \ge $$ $$x_{n-1}^p \left[ 1+p\frac{1}{p} \left( \frac{a}{x_{n-1}^p} -1\right) \right]=  x_{n-1}^p \frac{a}{x_{n-1}^p}=a $$ und weil \( x_n^p > 0 \) gilt, folgt (b)

Aus (2) folgt
$$ x_{n+1}-x_n=\frac{x_n}{p}\left( \frac{a}{x_{n}^p} -1\right)=\frac{1}{p}\left( \frac{a-x_n^p}{x_{n}^{p-1}} \right) $$ und weil \( x_n^p \gt a \) gilt folgt (c)

Aus (c) folgt, die Folge ist monoton fallend und aus (b) folgt, die Folge ist nach unten beschränkt und daraus, dass die Folge konvergent ist.

Da die Folgenn \( x_{n+1} \) und \( x_n \) gegen denn gleichen Grenzwert x konvergieren, kann der Grenzwert aus (2) berechnet werden, indem man \( x_{n+1}=x_n=x \) setzt.

Aus (2) folgt dann
$$ x=x \left[ 1+\frac{1}{p} \left( \frac{a}{x^p}-1 \right) \right] $$ und daraus folgt die Behauptung.