Folge sei rekursiv definiert..., zeigen Sie: a_(n)^2 - 2 ≥ 0 für alle n.

Question

hi,

die aufgabenstellung ist leider nicht ordnungsgemäß in den Fragetitel einfügbar.

mir stellt sich folgende Aufgabe:

eine formale lösung ist wünschenswert, damit ich sich anschließende aufgaben besser einordnen kann

Answer 1

die Aussage gilt offenbar für \(n=1\). Für alle \(n>0\) gilt$$\begin{aligned}a_{n+1}^2-2&=\left(\frac{a_n^2+2}{2a_n}\right)^2-2\\&=\frac{a_n^4+4a_n^2+4}{4a_n^2}-2\\&=\frac{a_n^4-4a_n^2+4}{4a_n^2}\\&=\left(\frac{a_n^2-2}{2a_n}\right)^2\ge0.\end{aligned}$$Daraus folgt (a).

Answer 2

f(1)=2,f(n+1)=(f(n)^2+2)/(2f(n)) 

Lösung 1:

f(n+1)=f(n)/2 +1/f(n) konvergente Folge mit positiven Startwert ist gleich, wenn alle 3 gleich:

x=x/2+1/x -> quadratische Gleichung

x=+/- sqrt(2) {Wurzel} -> aber nur positiv interessiert

Lösung 2:

in explizite Funktion wandeln (kompliziert):

f(n)=sqrt(2)*coth(2^{n-1}*acoth(sqrt(2)))

coth konvergiert gegen 1, also lim f(n) = sqrt(2) * lim 1 = sqrt(2) alle positiv

Der Iterationsrechner bestätigt beide Lösungswege:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#@Q2)*coth(@P2,x-1)*y)@Ni=0;a=(log(1+1/@Q2))-log(1-1/@Q2)))/2;@C0]=@Q2)+2;@C1]=2;aD[0]=@Q2)+2;aD[1]=2;@N@Bi]=Fxy(i,a);@Ci+2]=(@Ci+1]*@Ci+1]+2)/@Ci+1]/2;aD[i+2]=aD[i+1]/2+1/aD[i+1];@Ni%3E9@N0@N0@N#

Comments

Nach Grenzwerten ist nicht gefragt.

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Gast: Wer weiss, was da bei b), c) ... noch alles kommt.

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Mit 2>=a[n]>=sqrt(2) ; n>=1; und a[n] monoton fallend

ergibt sich automatisch nach dem Quadrieren

4 >= a[n]^2 >=2 und nach -2 auf beiden Seiten

2 >= (a[n]² - 2) >= 0 ; n>=1

Es war einfach nur ein anderer Lösungsweg ( wie meist bei meinen Antworten).

Andere Lösungswege sind nicht falsch, sondern bestärken die Richtigkeit des Ergebnisses.