Lösen Sie das lineare Gleichungssystem Ax=b nach x auf. b sowie die Matrix L mit A=L L⊤ sind gegeben als ...

Question

Lösen Sie das lineare Gleichungssystem \( \mathrm{Ax}=\boldsymbol{b} \) nach \( \boldsymbol{x} \) auf. \( \boldsymbol{b} \) sowie die Matrix \( \boldsymbol{L} \) mit \( \boldsymbol{A}=L L^{\boldsymbol{\top}} \) sind gegeben als

\( \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{r} -66 \\ 80 \\ -244 \\ -468 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad L=\left(\begin{array}{rrrr} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 & 0 \\ 2 & -5 & 5 & 2 \end{array}\right) \)

Welchen Wert nimmt das Element \( x_{3} \) an?

Answer 1

Löse zunächst das LGS \(Ly=b\) und anschließend \(L^\mathsf T x=y\).

Dann gilt \(Ax=LL^\mathsf T x=Ly=b\).

Da bereits Dreiecksmatrizen vorliegen, musst du das Eliminationsverfahren nicht mehr anwenden. Die Komponenten von \(y\) berechnen sich nacheinander von oben nach unten, da \(L\) eine untere Dreiecksmatrix ist. Die Komponenten von \(x\) berechnen sich nacheinander von unten nach oben, da \(L^\mathsf T\) eine obere Dreiecksmatrix ist.