Leichte Bruchungleichung mit Fallunterscheidung

Question

Folgende Bruchungleichung:

\( \frac{5}{2 x-2} \leq \frac{1}{x-3} \)

mit Lösung:

1. Fall: \( x \in(1,3): 5 x-15 \geq 2 x-2 \Longleftrightarrow 3 x \geq 13 \Longleftrightarrow x \geq \frac{13}{3} \)
\( \Rightarrow \mathbb{L}_{1}=\emptyset \)

$$ \begin{aligned} \text { 2. Fall: } & x \in \mathbb{R} \backslash[1,3]: 5 x-15 \leq 2 x-2 \Longleftrightarrow x \leq \frac{13}{3} \\ & \Rightarrow \mathbb{L}_{2}=(-\infty, 1) \cup\left(3, \frac{13}{3}\right] \end{aligned} $$
\( \Rightarrow \mathbb{L}=\mathbb{L}_{1} \cup \mathbb{L}_{2}=(-\infty, 1) \cup\left(3, \frac{13}{3}\right] \)
Man beachte, dass \( \mathbb{L} \subset \mathbb{D} \).

Frage: Warum ändert sich im 1. Fall das Vorzeichen? Wie entscheidet man wann man das Vorzeichen wo hin schaut? Habe hier leider Wissenslücken und möchte sie füllen

Vielen Dank an alle Antwortenden

Answer 1

Wenn mit einer negativen Zahl multipliziert wird, dreht sich das Kleiner- bzw. Größer-Zeichen um.

Wenn ein Nenner also negativ und der andere positiv ist, ist das der Fall.

Wenn beide Nenner positiv oder beide negativ sind, ändert sich das Zeichen nicht.

2x-2 ist negativ, wenn x<1 ist.

x-3 ist negativ, wenn x<3 ist.

Comments

Vielen lieben Dank!

Answer 2

Im ersten Fall wird der linke Nenner positiv, der rechte aber negativ.

Im zweiten Fall sind beide Nenner positiv oder negativ.