Wie löst man diese Bruchungleichung richtig auf? 1/|2x-2|>4

Question

Wie löst man diese Bruchungleichung richtig auf? 1/|2x-2|>4

3 Antworten

Ein anderes Problem?

Gast az0815 · Answer 1 · 2018-11-05T05:46:55+0000

$$\dfrac{1}{\left|2x-2\right|}>4$$Bevor wir den Betrag auflösen, können wir die Ungleichung mit Betrag ein wenig vereinfachen. Beide Seiten sind vorzeichengleich und wir können äquivalent umformen zu:$$\left|2x-2\right|<\dfrac 14\quad\land\quad x\ne1$$Dividieren durch 2 ergibt:$$\left|x-1\right|<\dfrac 18\quad\land\quad x\ne1$$Jetzt lösen wir den Betrag auf...$$-\dfrac 18<x-1<\dfrac 18\quad\land\quad x\ne1$$...addieren 1...$$\dfrac 78<x<\dfrac 98\quad\land\quad x\ne1$$...und sind – nach nur vier Schritten – fertig.

Gast · Answer 2 · 2018-11-04T11:45:31+0000

Hi.

ja, so kannst du es schreiben, warum nicht gleich das eigentliche Intervall.

Wie meint du das mit dem eigentlichen Intervall?

Du fragst "Wenn -(2x-2) positiv ist, warum steht dort ein Minus" die Antwort minus*minus=+ oder

-(-5)=+5 und es war ja 2x-2 negativ nur dann ist -1*(2x-2) positiv.
2, Betrag ist definiert als das Positive dessen, was darin steht. also |-5|=5 wenn du also |2x-2| hast ist 2x-2>0 für x>1 also kann man genau wie bei |5| den Betrag einfach weglassen, wenn 2x-2 negativ ist, ist das negative davon positiv. wie du bei |-5|=-(-5)=5 schreibst ist für 2x-2<0 , |2x-2|=-(2x-2)=2-2x

MMh aber wenn dort wenn 2x-2 negativ ist also -(2x-2) ist und der Betrag auch ein - abbekommt, steht dort doch -(-(2x-2)) = 2x-2, somit wäre es dann ja 1/|2x-2|>4, also unverändert, wie im Fall 1?

Es wäre also viel schlauer den Bruch immer gleich umzuformen, den der Betrag ist immer positiv oder muss ich da etwas beachten?

Kommentiert 4 Nov 2018 von Anja125

Ich muss gestehen, dass ich es immer noch nicht verstehe. Es macht für mich einfach keinen Sinn, obwohl ihr Recht habt, ich weiß nur nicht warum, da es mathematisch doch nicht funktioniert -(-5) = 5, wie kann sich da das Vorzeichen ändern?

$$\frac { 1 }{ \left| 2x-2 \right| } >4\\ \\ 1Fall\quad 2x-2>0\quad \Leftrightarrow \quad x>1:\\ \frac { 1 }{ (2x-2) } >4\quad \Leftrightarrow \quad 1>4(2x-2)\quad \Leftrightarrow \quad 1>8x-8\quad \Leftrightarrow \quad \frac { 9 }{ 8 } >x\\ Also:\quad ]1,\infty [\cap ]-\infty ,\frac { 9 }{ 8 } [\quad =\quad ]1,\frac { 9 }{ 8 } [\\ 2.Fall\quad 2x-2<0\quad \Leftrightarrow \quad x<1:\\ \frac { 1 }{ -(-(2x-2)) } >4\quad \Leftrightarrow \quad 1>4(2x-2)\quad \Leftrightarrow \quad 1>8x-8\quad \Leftrightarrow \quad \frac { 9 }{ 8 } >x\\ Also:]-\infty ,1[\cap ]-\infty ,\frac { 9 }{ 8 } [\quad =\quad ]-\infty ,1[\quad \quad \quad $$

Ich weiß, ich bin etwas nervig, aber ich möchte es verstehen :)

Kommentiert 4 Nov 2018 von Anja125

georgborn · Answer 3 · 2018-11-04T17:35:40+0000

1 / | 2x-2 | > 4
D = ℝ \ 1

1 / | 2x-2 | >4 | * | 2x-2 |
| 2x-2 | ist positiv also
1 > 4 * | 2x-2 |
2 ausklammern
1 > 4 * 2 * | x-1 |
1 > 8 * | x-1 | | : 8
1/8 > | x-1 |
Fallunterscheidung

erster Fall
x - 1 >= 0
x >= 1
x > 1 ( wegen Def-Bereich )
Es gilt
1/8 > x-1
1.25 > x
( x < 1.25 ) und ( x >= 1 )
1 < x < 1.25

zweiter Fall
x - 1 < 0
x < 1
Es gilt
1/8 > ( x - 1 ) * -1
1/8 > -x + 1 | + x | - 1/8
x > 1 -1/8
x > 0.875
( x > 0.875 ) und ( x < 1 )
0.875 < x < 1

Beide Fälle
( 0.875 < x < 1 ) und ( 1 < x < 1.25 )

Wie löst man diese Bruchungleichung richtig auf? 1/|2x-2|>4

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