Wie löst man diese Bruchungleichung richtig auf? 1/|2x-2|>4

Question

Aufgabe:

1/|2x-2| > 4

Ich komme bei dieser Aufgabe auf kein richtiges Ergebnis, könnte mir jemand eine Lösung erklären?

Klar ist, dass gilt x≠1.

Man hat dann zwei Fälle, einmal x>1 und einmal x<1

Für x>1 habe ich:  1/(2x-2) > 4 <=> 1 > 4(2x-2) <=> 1 > 8x-8 <=> 9/8 > x, also (1,infty) ∩ (-infty,9/8) = (1,9/8)

Für x<1 habe ich: 1/-(2x-2) > 4 <=> 1 < -4(2x-2) <=> 1 < -8x+8 <=> 8x < 9 <=> x< 9/8, also (-infty,1) ∩ ( -infty, 9/8) = (-infty,1)

Also (1,9/8) ∪ (-infty,1) (-infty,9/8)

Problem, meine Lösung kann nicht funktionieren, es müsste (1,9/8) lauten.

Wie muss man an solche Aufgaben rangehem und was muss man beachten?

Answer 1

$$\dfrac{1}{\left|2x-2\right|}>4$$Bevor wir den Betrag auflösen, können wir die Ungleichung mit Betrag ein wenig vereinfachen. Beide Seiten sind vorzeichengleich und wir können äquivalent umformen zu:$$\left|2x-2\right|<\dfrac 14\quad\land\quad x\ne1$$Dividieren durch 2 ergibt:$$\left|x-1\right|<\dfrac 18\quad\land\quad x\ne1$$Jetzt lösen wir den Betrag auf...$$-\dfrac 18<x-1<\dfrac 18\quad\land\quad x\ne1$$...addieren 1...$$\dfrac 78<x<\dfrac 98\quad\land\quad x\ne1$$...und sind – nach nur vier Schritten – fertig.

Answer 2

"Für x<1 habe ich: 1/-(2x-2) > 4 <=> 1 < -4(2x-2)"

Hier hängt es. Für x<1 ist  2x-2 negativ, aber -(2x-2) ist dann positiv.

Du hast deine Ungleichung mit dem POSITIVEN Faktor -(2x-2) multipliziert, demzufolge ändert das Relationszeichen seine Richtung NICHT.

Aus  1/-(2x-2) > 4 folgt unter diesen Bedingungen  1 > -4(2x-2).

In diese Bredouille hast du dich durch einen etwas ungeschickten Ansatz gebracht.

1/|2x-2|>4 lässt sich durch Multiplikation mit dem (garantiert nicht negativen) Faktor |2x-2| und Division durch 4 zu

0,25<|2x-2| umwandeln, und erst jetzt ist die Fallunterscheidung notwendig.

Comments

Danke für die Antwort.

Ich habe da nun ein paar Fragen.

Wenn -(2x-2) positiv ist, warum steht dort ein Minus? Würde sich ein negativer Betrag und ein negatives Inneres nicht aufheben? Denn wenn ich mit etwas negativen multipliziere, (mit dem - ist es ja negativ) muss sich das Vorzeichen doch ändern?

Warum ist |2x-2| garantiert nicht negativ? Solch eine Umformung habe ich noch nie verstanden, unser Leher erklärt dies immer sehr bescheiden.

Wäre dann die Lösung (wenn ich deinen ersten Tipp folge)

(1,9/8) ∪  (7/8,1) ?

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Hallo

 ja, so kannst du es schreiben, warum nicht gleich das eigentliche Intervall.

du fragst "Wenn -(2x-2) positiv ist, warum steht dort ein Minus" die Antwort minus*minus=+ oder

-(-5)=+5  und es war ja 2x-2 negativ nur dann ist -1*(2x-2) positiv.

2, Betrag ist definiert als das Positive dessen, was darin steht. also |-5|=5 wenn du also |2x-2| hast ist 2x-2>0 für x>1 also kann man genau wie bei |5| den Betrag einfach weglassen, wenn 2x-2 negativ ist, ist das negative davon positiv. wie du bei |-5|=-(-5)=5 schreibst ist für 2x-2<0 ,  |2x-2|=-(2x-2)=2-2x

Gruß lul

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Hi.

ja, so kannst du es schreiben, warum nicht gleich das eigentliche Intervall.

Wie meint du das mit dem eigentlichen Intervall?

Du fragst "Wenn -(2x-2) positiv ist, warum steht dort ein Minus" die Antwort minus*minus=+ oder

-(-5)=+5  und es war ja 2x-2 negativ nur dann ist -1*(2x-2) positiv.
2, Betrag ist definiert als das Positive dessen, was darin steht. also |-5|=5 wenn du also |2x-2| hast ist 2x-2>0 für x>1 also kann man genau wie bei |5| den Betrag einfach weglassen, wenn 2x-2 negativ ist, ist das negative davon positiv. wie du bei |-5|=-(-5)=5 schreibst ist für 2x-2<0 ,  |2x-2|=-(2x-2)=2-2x

MMh aber wenn dort wenn 2x-2 negativ ist also -(2x-2) ist und der Betrag auch ein - abbekommt, steht dort doch -(-(2x-2)) = 2x-2, somit wäre es dann ja 1/|2x-2|>4, also unverändert, wie im Fall 1?

Es wäre also viel schlauer den Bruch immer gleich umzuformen, den der Betrag ist immer positiv oder muss ich da etwas beachten?

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Ich muss gestehen, dass ich es immer noch nicht verstehe. Es macht für mich einfach keinen Sinn, obwohl ihr Recht habt, ich weiß nur nicht warum, da es mathematisch doch nicht funktioniert -(-5) = 5, wie kann sich da das Vorzeichen ändern?

$$\frac { 1 }{ \left| 2x-2 \right| } >4\\ \\ 1Fall\quad 2x-2>0\quad \Leftrightarrow \quad x>1:\\ \frac { 1 }{ (2x-2) } >4\quad \Leftrightarrow \quad 1>4(2x-2)\quad \Leftrightarrow \quad 1>8x-8\quad \Leftrightarrow \quad \frac { 9 }{ 8 } >x\\ Also:\quad ]1,\infty [\cap ]-\infty ,\frac { 9 }{ 8 } [\quad =\quad ]1,\frac { 9 }{ 8 } [\\ 2.Fall\quad 2x-2<0\quad \Leftrightarrow \quad x<1:\\ \frac { 1 }{ -(-(2x-2)) } >4\quad \Leftrightarrow \quad 1>4(2x-2)\quad \Leftrightarrow \quad 1>8x-8\quad \Leftrightarrow \quad \frac { 9 }{ 8 } >x\\ Also:]-\infty ,1[\cap ]-\infty ,\frac { 9 }{ 8 } [\quad =\quad ]-\infty ,1[\quad \quad \quad$$

Ich weiß, ich bin etwas nervig, aber ich möchte es verstehen :)

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Hallo

 noch mal  deine Frage: "-(-5) = 5, wie kann sich da das Vorzeichen ändern" verstehe ich nicht -(-5) ist kurz für (-1)*(-5) und das lernt man etwa in Klasse  6

oder wie rechnest du (-1)*(6-11)

dein Fall 2 machst du zu viele Fehler:

für 2x-2<0 ist |2x-2|=-(2x-2)=2-2x und das ist jetzt positiv. dass du statt |2x-2| =-(-(2x-2))=2x-2 geschrieben hast ist falsch für x<1.

also für x<1 gilt 1/|2x-2|=1/(2-2x)

und du hast 1/(2x-2)>4, 1>8-8x  jetzt in 2 Schritten, da du hier immer falsch rechnest: 1-8>-8x, -7>-8x

 dividieren durch -8 kehrt das > Zeichen um also

-7/-8<x oder x>7/8 wegen x<1 also nur 7/8<x<1

auffallen hätte dir müssen dass du für x<1 und x>1 dieselbe Ungleichung nimmst.

Gruß lul

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Ja, mir fällt auf, dass ich zweimal dieselbe Gleichung bekomme.

Mein Problem ist der Schritt hier

Für 2x-2<0 ist |2x-2|=-(2x-2)=2-2x

Warum 2-2x? Wenn -(2x-2) ist und  2x-2 ist negativ, dann hebt sich das doch auf und es lautet 2x-2, oder?   -(6*1/2-6) =-(-3) = 3 oder?

Du machst irgendwas für mich unerklärliches und da hängt es.  
Ich finde solche Aufgaben einfach viel zu schwierig.

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-(2x-2) kann man etwas ausführlicher schreiben als

(-1)*(2x-2), und wenn man das ausmultipliziert, erhält man -2x+2.

Da man Summanden vertauschen kann, kann man statt -2x+2 aber auch 2+(-2x) schreiben, und das ist nun mal 2-2x.

Answer 3

1 / | 2x-2 | > 4
D = ℝ \ 1

1 / | 2x-2 | >4  | * | 2x-2 |
| 2x-2 | ist positiv also
1 > 4 * | 2x-2 |  
2 ausklammern
1 > 4 * 2 * | x-1 | 
1 > 8 * | x-1 |   | : 8
1/8 > | x-1 |
Fallunterscheidung

erster Fall
x - 1 >= 0
x >= 1
x > 1 ( wegen Def-Bereich )
Es gilt
1/8 > x-1
1.25 > x
( x < 1.25 ) und ( x >= 1 )
1 < x < 1.25

zweiter Fall
x - 1 < 0
x < 1
Es gilt
1/8 > ( x - 1 ) * -1
1/8 > -x + 1  | + x | - 1/8
x > 1 -1/8
x > 0.875
( x > 0.875 ) und ( x < 1 )
0.875 < x < 1

Beide Fälle
( 0.875 < x < 1 )  und ( 1 < x < 1.25 )

Comments

Hallo dein Problem=

Für 2x-2<0 ist |2x-2|=-(2x-2)=2-2x

du schreibst "Wenn -(2x-2) ist und  2x-2 ist negativ, dann hebt sich das doch auf und es lautet 2x-2, oder

2x-2 negativ, dann ist -(2x-2) positiv  und 2x-2 weiter negativ und nichts hebt sich auf.

 immer wenn du durcheinander kommst setz einfach mal ein paar passende Zahlen statt x ein, dann wird es leichter verständlich. du hast im Moment nur grad nen Knoten im Hirn, ich hoff er löst sich auf-

nochmal wenn 2x-2 negativ ist, also für alle x<1 dann sieh dir erst mal ein 2 Beispiel mit x<1 an, x=0 etwa dann steht da |-2| das ist 2, x=-5 als nächstes Beispiel dann steht da |-10-2|=|-12|=12

 in beiden Fällen hätte ich für x< 1 direkt hinschreiben könne |2x-2|=-(2x-2)=-2x+2=2-2x

wieder sie Beispiele eingesetzt  x=0 2-2x=2, x=-5 , 2-(-10)=2+10=12

Gruß lul