Wie kann ich mit Hilfe der Vektorrechnung die Höhe einer quadratischen Pyramide berechnen?

Question

http://www.ph2.uni-koeln.de/fileadmin/Lehre/ws1011_vorkurs/uebung2.pdf

Die gefragte Aufgabe ist Aufgabe 0. 

Trigonometrie/Geometrie ist verboten, aber wie löse ich das alleine mit der Vektorrechnung?

Ich weiß, dass die Gesamtstrecke 22 m/min * 28 min = 616 m lang ist. 

Nun habe ich mir vorgestellt ein virtuelles Koordinatensystem zu erstellen , welches die Ecke 1 z.B. mit (2|2|0) belegt und dementsprechend die Abstände berechnet. Nun könnte ich prozentual sagen, wie lang der Abstand in realen Metern ist, aber wie komme ich dann auf die Höhe?

Answer 1

vielleicht ist es besser h als Einheit zu nehmen. Dann ist

Ecke 1 = A = ( 1 / -1 / 0 )

Ecke 4 = B = ( 1 / 1 / 0 )

und die Spitze S ( 0 / 0 / 1 )

und Punkt 2 ist  auf der Geraden BS mit 3. Koordinate 0,5 also

p = (1/1/0) + r*( -1/ -1/ 1 )  und damit 3. KOO 0,5 wird muss s=0,5 sein, also

P = (0,5 / 0,5 / 0,5)

Jetzt alle Längen ausrechnen

|AP| = | ( -0,5 / 1,5 / 0,5 ) | = wurzel(11/4)

|PS| = | ( -0,5 / -0.5 / 0,5 ) | = o,5*wurzel(3)   und |SA| = wurzel(3)

also ist der ganze Weg   wurzel(11/4) +1,5*wurzel(3) = 4,25 LE 

und wenn 4,25 LE dem Weg von 616m entsprechen ist ein LE etwa 144,7 m

Also ist die Py. 144,7 m hoch. (laut wikipedia 138m, aber vielleicht ist das 

absichtlich etwas ungenau.)

Comments

Hallo mathef, ich habe deine Angaben mal mit Geoknecht visuell nachgezeichnet. Kann es sein, dass etwas nicht stimmt. Siehe 3D-Abbildung hier.  Demnach verläuft die Strecke "1→2" bzw. AP durch die Pyramide durch. Auch sieht man, dass S und P und A auf einer Ebene liegen, was laut Aufgabenstellung nicht möglich ist (Pyramidenspitze muss eine andere Position haben).

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Ach ja, ich glaube ich hab bei A die Koordinaten falsch, müsste

wohl A(1/-1/0) sein.  A hat ja die gleiche x-Koordinate wie B.

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Aber selbst mit A(1|-1|0) geht der Weg durch die Pyramide durch und nicht auf ihrer Seitenfläche, vgl. Geoknecht.

PS: Ist es eigentlich gängig, den Querstrich / zu verwenden statt den Senkrechtstrich | bei der Notation von A(1|-1|0)?

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Ob quer oder senkrechter Strich, ich meine beides schon gesehen zu haben.

ABER: Die Punkte A und B sollen ja Pyramidenecken sein. Bei deiner Zeichung

sind es die Kantenmittelpunkte. Deshalb geht der Weg "durch" die Pyramide.

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Habe meine Lösung korrigiert und denke, dass es

jetzt stimmt.

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Ich hatte die Größe der Pyramide (mittels "zylinder") etwas zu groß gezeichnet. Jetzt korrigiert.

Passt nun :) 

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|AP| = | ( -0,5 / 1,5 / 0,5 ) | = wurzel(11/4) 

wie kamst du hier plötzlich auf wurzel(11/4) von der koordinate?