Pyramide mit Vektorrechnung

Question 1

Aufgabe:

Von einer Pyramide ABCDS mit einem Rechteck als Grundfläche kennt man die Koordinaten der Spitze (1,5/3/8).

A(9/0/8), B(6/6/2), C(xc/2/0)

a.) Zeige, dass der Eckpunkt C die Koordinaten C(2/2/0) hat. Bestimme die Koordinaten des Punktes D der Pyramide! Erläutere die Eigenschaften einer geraden Pyramide und zeige, dass die gegebene Pyramide gerade ist.

b.) Berechne die Höhe h und das Volumen V der Pyramide.

c.) Wie groß ist der Winkel, den eine Seitenkante mit der Höhe der Pyramide einschließt?

Problem/Ansatz:

Ich könnte dabei wirklich Hilfe gebrauchen. Ich freue mich über jegliche Mithilfe. :)

Question 2

Wo liegt das Problem?

Flächeninhalt eines Dreiecks?

Schnittpunkt dreier Ebenen?

Ausstellen der Ebenengleichung für die Grundfläche?

Motivation, wenigstens anzufangen?

Abstand eines Punktes von einer Ebene?

Volumenformel für Pyramide kennen oder finden?

....

Question 3

Ich habe es versucht, aber ich habe nicht die richtigen Lösungen erhalten. Daher habe ich gehofft, dass mir wer den richtigen Rechnungsweg zeigt, damit ich verstehen kann wo der Fehler lag. :)

Question 4

Entschuldigung. Ich habe deine beiden Fragestellungen versehentlich zusammengeführt.

Ist aber kein Problem. Ich habe gerade selber beide Aufgaben gelöst. Was waren denn deine Ansätze.

Vielleicht bestimmst du wie ich selber erstmal den Schnittpunkt der gegebenen drei Ebenen.

Question 5

Ich würde das Volumen mit der Formel V= 1/6 * | (AB x AC) * AS | ausrechnen.

Dazu muss ich aber erst S ausrechnen und ich finde keine passende Formel dazu.

Question 6

Das ist schon ein guter Ansatz. Du hast 3 Ebenen.

Die 3 Ebenen bilden ein lineares Gleichungssystem. 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Das kann bereits im einfachsten fall der Taschenrechner lösen.

5·x - 3·y + z = 5
x + 4·y - 2·z = 16
3·x + 2·y - 2·z = 6

Dieses Gleichungssystem gilt es zu lösen. Schau also z.B. mal nach im Handbuch des Taschenrechners oder schau auf Youtube wie du sowas auch per Hand löst.

Question 7

Und was mache ich wenn ich das Gleichungssystem gelöst habe?

Question 8

Dann hast du den Punkt S heraus, den du haben wolltest.

Question 9

Achso okay dankee :)

Question 10

Wie lautet die Formel für den Inhalt der Grundfläche?

Question 11

Achso. Ja oben in der Hauptaufgabe war es ein Rechteck.

Also

Beim Rechteck/Parallelogram ABCD

G = |AB x AD|

Beim Dreieck ABC

G = 1/2·|AB x AC|

Question 12

Also G=0.5* | (7,12,-2)x(10,8,-4) | oder?

Laut Lösung soll aber A=36 rauskommen und hier kommt etwas anderes raus

Question 13

Kennst du Geogebra? Dann benutze das doch mal zur Selbstkontrolle und Hilfe

Sieht das wie ein Flächeninhalt von 36 aus?

Question 14

Also G=0.5* | (7,12,-2)x(10,8,-4) | oder?

6-6=0 nicht 12

2-6=-4 nicht 8

@Mathecoach

Welche Aufgabe soll das sein?

Question 15

Es ist 6 - (-6) also plus 6

Und auch 2 -(-6) also plus 6

Question 16

Dann verwirrt mich alles, ich bin von folgenden Angaben ausgegangen.

A(-2/6/3), B(5/6/1), C(8/2/-1)

AB=(7/0/-2);AC=(10/-4/-4)

Question 17

A (-2/-6/3)

Tut mir leid, ich habe das minus bei 6 vergessen.

Bei der Grundfläche soll 36 rauskommen aber mit der Formel kommt etwas anderes raus

Question 18

Dann Rechne das jetzt einfach mit den richtigen Koordinaten und schau ob du dann auch auf die gegebene Lösung kommst.

Wenn du etwas anderes heraus bekommst, dann stell mal deine Rechnung ein. Dann kann ich das kontrollieren.

Mit der neuen Koordinate von A kommt auch als Grundfläche 36 heraus. Das kann ich zumindest bestätigen.

Question 19

G= 1/2 | (7/12/-2) x (10/8/-4)

G= 1/2 | (-32|8|-64)|

Habe ich beim Kreuzprodukt schon einen Fehler gemacht? Ich bin mir nicht sicher wie ich den Vektor nun ausrechnen soll.

Question 20

Ich bin gerade auf die richtige Lösung gekommen.

Question 21

Du musst den Betrag (die Länge) eines Vektors nehmen

|X| = |[x, y, z]| = √(x^2 + y^2+ z^2)

Question 22

! Bei b.) finde ich keine passenden Formeln um die Höhe und den Neigungswinkel zu berechnen

Question 23

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich aus

V = 1/3 * G * h

Ich nehme an, du kannst die Formel nach h auflösen?

Den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmt man mit der Formel

α = ARCCOS(u·v / (|u|·|v|))

Achtung. Mit dieser Formel berechnest du nicht direkt den gewünschten Winkel. Daher rate ich das Kapitel Winkelberechnung im Lehrbuch, in Skripten und auf YouTube Videos zu verinnerlichen.

Mathematik besteht nicht nur aus Formelwissen, in die man einsetzen muss, sondern hauptsächlich auch aus Überlegungen.

Question 24

Dankeschön!!

Question 25

D=C+BA=C+(A-B)

Question 26

u = BS also (-1/-3/11) oder?

aber wie komme ich zu v?

Question 27

Prüf nochmals BS

Und als Vektor v nimmst du den Normalenvektor der Ebene. Also den Vektor der Senkrecht zur Ebene steht.

PS: Du kannst dir das mit Geogebra zeichnen lassen oder auch mit Geoknecht

https://www.matheretter.de/geoservant/de

Question 28

Wie komme ich zu dem Normalvektor? Ich bin etwas verwirrt. Ich habe schon etliche Male versucht den Winkel auszurechnen aber ich bekomme immer ein falsches Ergebnis

Question 29

Der Normalenvektor ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren die die Ebene aufspannen.

N = AB x AC

Question 30

Okay also ich habe u=(-1/-3/11) und n (-32/8/-64)

Question 31

Okay also ich habe u=(-1/-3/11) und n (-32/8/-64)

Prüf mal bitte den Vektor u. Da habe ich andere Vorzeichen.

Question 32

BS ist (-1/3/11) ich habe das ganze ausgerechnet und komme auf -51,84 aber es sollte 51,84 rauskommen

Question 33

Das ist richtig. Das Vorzeichen ändert sich, wenn du den Normalenvektor im Vorzeichen wechselst.

Warum spielt das Vorzeichen hier nicht wirklich eine Rolle?

Question 34

Also stimmt das Ergebnis -51,84? Da die Lösung 51,84 sein sollte

Question 35

Ja, Mach wir das ruhig mal an einer Skizze klar.

Question 36

Ich habe oben die Betragsstriche übersehen. Jetzt sollte das Ergebnis stimmen.

Question 37

Vom Duplikat:

Titel: Wie rechnet man die Höhe und den Winkel in einer Pyramide aus?

Stichworte: pyramide,höhe,winkel,vektoren

Aufgabe:

Von einer Pyramide ABCDS mit einem Rechteck als Grundfläche kennt man die Koordinaten der Spitze (1,5/3/8).

A(9/0/8), B(6/6/2), C(2/2/0)

b.) Berechne die Höhe h und das Volumen V der Pyramide.

c.) Wie groß ist der Winkel, den eine Seitenkante mit der Höhe der Pyramide einschließt?

Problem/Ansatz:

Ich finde keine passende Hilfe um h auszurechnen. Und bei c bräuchte ich auch eine passende Formel.

Question 38

a) Zeige, dass der Eckpunkt C die Koordinaten C(2 | 2 | 0) hat.

Stelle die Richtungsvektoren AB und BC auf. Diese müssten wenn die Grundfläche ein Rechteck ist senkrecht aufeinander stehen. Was ist die Bedingung das zwei Vektoren senkrecht sind?

Stelle diese Bedingung auf und löse nach der unbekannten xc auf. Du erhältst 2.

Dann geht es weiter...

Question 39

Ich weiß jedoch nicht wie man eine Bedingung aufstellt.

Question 40

Ihr habt bestimmt gelernt, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 ist, wenn die Vektoren einen rechten Winkel bilden.

Das bedeutet du musst die Vektoren aufstellen und ihr Skalarprodukt gleich null setzen. Und dann kannst du nach der Unbekannten auflösen.

Question 41

BC*BA=0

(x-6;-4;-2)*(3;-6;6)=0

3x-18+4*6-2*6=0

3x=30-24 usw

Question 42

Dankeschön!!

Question 43

Ok. Ich hatte gehofft Schüler.xyz kommt alleine auf die Rechnung und braucht nicht abschreiben :(

Question 44

Das war doch nur C, D geht jetzt bestimmt doch alleine. ABCD soll ein Rechteck sein, mehr kommt von mir nicht mehr.

Question 45

Könntest du mir vielleicht auch bei c.) helfen? Ich weiß nicht wie ich dieses Bsp angehen soll

Question 46

Und bei a.) „Erläutere die Eigenschaften einer geraden Pyramide und zeige, dass die Pyramide gerade ist“ komme ich nicht weiter

Question 47

Eine gerade Pyramide ist, die uns geläufige Pyramide. Die Spitze ist direkt über dem Mittelpunkt der Grundfläche.

Question 48

Danke:) und wie kann ich das zeigen?

Question 49

Die berechnest den Mittelpunkt und dann zeigst du, dass

$$MA*MS=0= MB*MS$$

Question 50

Dankesehr. :)

Question 51

Bei mir kommt nicht Null heraus. Ich habe den Mittelpunkt mit M=a+1/2*AC berechnet und dann diese Formel verwendet

Question 52

M=(A+C)/2=(B+D)/2

Question 53

Als Mittelpunkt kommt bei mir (5.5/1/4) heraus und dann kommt nicht null heraus

Question 54

Bei mir auch nicht, M gabe ich auch.

Question 55

Aber es muss null rauskommen um dies zu beweisen oder?

Question 56

Wenn es eine gerade Pyramide sein soll, muss es Null sein.

Question 57

Aber es kommt bei mir nicht null raus. Was soll ich jetzt machen?

Question 58

Wie gesagt, bei mir auch nicht, wobei die Entfernung von der Spitze nach A und B und C ist gleich, aber nach D ist es verschieden. Ich bin dabei und melde mich.

Question 59

Okay danke! :)

Question 60

Sie sieht auf jeden Fall sehr gerade aus.

Question 61

Okay, danke für die Mühe:)

Question 62

und wenn du mal deine rechnung zeigst kann ich vermutlich sagen was falsch ist.

Question 63

Bei mir kommt jetzt beides mal Null raus.

$$MA=(3,5;-1;4)$$

$$MS=(-4;2;4)$$

$$MB=(0,5;5;-2)$$

$$MA*MS=3,5*(-4)-1*2+4*4=0$$

$$MS*MB=-4*0,5+2*5+4*(-2)=0$$

Keine Ahnung, was mit uns los war.

Mit dem Kreuzprodukt hatte ich es auch getestet, es passt doch alles.

Question 64

Man muss auch nicht zweimal das Skalarprodukt bilden. Einmal hätte völlig gelangt.

Man muss ja nur zeigen das MS senkrecht auf der Grundfläche steht und damit hätte man neben MS jeden beliebigen Richtungsvektor in der Grundfläche nehmen können.

Pyramide mit Vektorrechnung

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