integral berechnen f(x) = x+1

Question

Berechnen Sie U_n und O_n für die Funktion f über dem Intervall I. Welcher Grenzwert ergibt sich jeweils für n → ∞?

a) f(x) = x + 1, I[0;1]

Benötigte Summenformeln:

1+2+....+n= n(n+1) / 2

Answer 1

$$ U_n = \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n}\cdot f\left(\frac{k}{n}\right) \\ O_n =  \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot f\left(\frac{k}{n}\right) $$

$$ \lim \limits_{n \to \infty} U_n = \lim \limits_{n \to \infty} O_n = \frac{3}{2} $$

Gruß

Answer 2

Obersumme, [ ∑ läuft von k=1 bis n ]

O_n =  ∑ ([ f((k/n)*1/n ]

= ∑ (k/n + 1) * 1/n

= ∑ (k/n² + 1/n)

= 1/n² * ∑([ k + n) ]

= 1/n² * ( ∑ [k]  + ∑ [n] )

= 1/n² * ( ∑ [k] +n*n )

= 1/n² * ∑ [k]  + 1

=  1/n^{2 *} n/2 * (n+1)  + 1

=  1/ n * 1/2  (n+1)  + 1

= 1/2 + 1/(2n) + 1

= 3/2 + 1/(2n)

Der Grenzwert für  n -> ∞ beträgt 3/2

Untersumme:

U_n = O_n - ( 2 * 1/n)  [Obersumme - rechtes Rechteck]

= O_n - (2/n)

Der Grenzwert beträgt ebenfalls 3/2