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Aufgabe:

\(\int_0^\infty \frac{1}{x^4+1} \, dx\)


Problem/Ansatz:

Wie würde man es diese Aufgabe berechnen? Weil ich komme irgendwie nicht zu dieser Lösung bzw. berechne ich hin und her. Kann wer helfen?

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Wer hat denn jetzt entschieden, dass es die Frage schon gibt? Hier geht es um ein uneigentliches Integral, das war vorher nicht der Fall. Man sollte schon genauer hinschauen, bevor man ankündigt Antworten, die einigen Aufwand erfordern zu löschen. Also, bitte mal Rückmeldung: Wer ist dafür verantwortlich?

3 Antworten

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Einfach nen Rechner benutzen.


Laut meinem NCAS Rechner sind es (π • 2^(0.75))/8, also 0.660439

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Ich muss ja schon schmunzeln, wenn man die Aufgabe nicht einmal mit einem Hilfsmittel korrekt gelöst bekommt... Das Ergebnis ist also falsch.

Aus

Einfach nen Rechner benutzen.

würde ich dann eher:

Einfach nen Rechner richtig benutzen.

machen.

Mir ist ein Tippfehler unterlaufen (beim Exponenten), es ist 1,110. Nicht gleich Arrogant werden :). Falls du es nicht so meintest, dann eben etwas an deinem Ton ändern.

Was hat das mit Arroganz zu tun? Es zeigt einfach, dass Hilfsmittel keine Allheilmittel sind, wenn man sie nicht richtig bedient. Die Quintessenz des Kommentars war einfach, dass man eben auch beim Umgang mit Hilfsmitteln entsprechende Sorgfalt pflegen muss und es mit einem "einfach einen Rechner benutzen" nicht getan ist. Das sollte man einfach wissen. :)

Du hast mir unterstellt, dass ich nicht wissen würde, wie man einen Taschenrechner richtig benutzt. Jedoch war offensichtlich, dass mir eben ein Tippfehler unterlaufen ist. Ich wusste, dass du es nicht so meintest. Das ändert jedoch gar nichts daran, was dein Kommentar ohne mein Hintergrundwissen ausgesagt hätte.

Was als "arrogant" empfunden, kann jeder für sich entscheiden. Jedenfalls sollte der, der in seiner Antwort "einfach mal" verwendet sehr sicher sein, dass seine Antwort auch stimmt, und die rechnerisch und schreibtechnisch nochmal überprüft haben. Andernfalls könnte das als arrogant empfunden werden ;-)

Viele Lernende sind (oft nicht zu unrecht) allergisch, wenn in Antworten das Wort "einfach" verwendet wird.

Alles bestens. Musste auch etwas lachen, da das mit dem "Einfach...." sehr gut mit meinem Fehler gepasst hat.

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Ein Integral ist keine Aufgabe, es kommt schon genau auf den Wortlaut an. Die Berechnung über Stammfunktion und Grenzwerte ist aufwendig (und das ist vielleicht ja auch gar nicht die Aufgabe?!).
Die Berechnung einer Stammfunktion findest Du hier:

https://www.mathelounge.de/1072485/partialbruchzerlegung-von-1-x-4-1

Dann müssen noch die Grenzwerte berechnet werden. Beachte dabei: \(\arctan x\to\frac\pi2\) für \(x\to\infty\),

\(\arctan x\to-\frac\pi2\) für \(x\to-\infty\) und \(\ln 1=0\).

Endergebnis: \(\frac\pi{2\sqrt2}\approx 1.1107\).

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\(\arctan x\to-\frac\pi2\) für \(x\to-\infty\)

Wofür braucht man das hier?

Die verlinkte Stammfunktion hat den Nachteil (wie Du selbst zurecht angemerkt hast), dass sie bei x=0 nicht definiert ist. Daher fällt hier ein weiterer Grenzwert an.

Wäre dann nicht \(x\to0\) sinnvoller?

Schau Dir doch die Stammfunktion an. Vielleicht ist es klarer, wenn man sagt, man braucht \(\arctan y\to-\frac\pi2\) für \(y\to-\infty\), jedenfalls braucht man diesen Grenzwert, egal mit welchem Buchstaben.

Jetzt verstehe ich, was du meintest. Danke für die Info.

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Was ist dein Level bzw. Kontext, in dem du diesem Integral begegnet bist?

Es würde sich eine Partialbruchzerlegung anbieten, da \(1+x^4=(x^2+i)(x^2-i)\) mit dem Wissen, dass \(\arctan x\) eine Stammfunktion von \(x^2+1\) ist. Es fühlt sich allerdings so an, als resultiere das in einer gewissen Menge Schreibarbeit.

Wenn du keine Lust hast, eine Stammfunktion zu berechnen, und etwas Ahnung von komplexer Analysis hast, kannst du die Residuenformel nutzen und kommst in einer oder zwei Zeilen auf das korrekte Ergebnis.

Wenn du dazu Fragen hast, kommentiere einfach kurz hier drunter und ich gehe etwas mehr ins Detail.

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Ich hab die Frage zwar nicht gestellt, interessiere mich aber für den Teil über die Residuenformel, also wäre cool wenn, du mehr ins Detail gehen würdest

Gerne!

Die grobe Idee ist es, dass die Funktion \(f:\mathbb{C}\setminus\{\text{Vier einfache Polstellen}\}\to \mathbb{C}\) gegeben durch \(f(z)=\frac{1}{z^4+1}\) nicht nur eine reell-differenzierbare Funktion ist (\(\mathbb{C}\) als \(\mathbb{R}^2\) aufgefasst), sondern komplex-differenzierbar. Das klingt nach nicht viel, ist aber eine unglaublich große Einschränkung, die sehr viel Struktur gibt. Komplex-differenzierbar zu sein ist viel viel mehr als nur reell-differenzierbar zu sein.

Zum Beispiel ist deine Funktion automatisch analytisch, harmonisch, und noch viele weitere unglaubliche Eigenschaften. Am wichtigsten für diese Aufgabe stellt sich aber heraus, dass Integrale über geschlossene Wege homotopieinvariant sind: Wenn du also den Weg, über den du integrierst, leicht veränderst, quetschst, auseinanderziehst etc., dabei aber nie "über eine Polstelle gehst", bleibt der Wert des Integrals gleich. Der Physiker würde an dieser Stelle sagen, dass komplex-differenzierbare Funktionen konservative Vektorfelder sind (und genau deshalb so nützlich für die Physik).

Auf gewisse Weise ist also der Wert eines Integrals einer komplex-differenzierbaren Funktion über einen geschlossenen Weg nur abhängig davon, um welche Polstellen der Funktion du wie oft in welchem Uhrzeigersinn drumherumläufst (da du im Prinzip alles andere am Integrationspfad ändern kannst, ohne den Wert des Integral zu ändern). Wenn du einen Integrationspfad hast, der kreisförmig nur um eine Polstelle nur einmal gegen den Uhrzeigersinn herumläuft, kannst du also den Radius gegen \(0\) gehen lassen und der Wert des Integrals bleibt immer gleich, das ist Quasi der "Beitrag" dieser Polstelle zu den Integralen, die um diese Polstelle herumlaufen, diesen Wert (aus Gründen mit \(\frac{1}{2\pi i}\) skaliert) nennt man das Residuum der Polstelle. Wenn man andersherum um diese Polstelle läuft, bekommt man Minus diesen Wert als Integral, wenn man zweimal herumläuft den doppelten Wert etc, es funktioniert alles auf fast schon verdächtig magische Weise.

Die Residuenformel explizit sagt folgendes aus: Unter nicht näher genannten Umständen, die hier gelten, gilt für Integrale deiner komplex-differenzierbaren Funktion \(f\) und einem geschlossenen Weg \(\gamma\): \(\int_\gamma f = 2\pi i\sum\limits_{p}\mathrm{ord}_\gamma(p)\mathrm{Res}_f(p)\), wobei die Summe über die Polstellen von \(f\) läuft, die Funktion \(\mathrm{ord}_\gamma(p)\) angibt, wie oft die Kurve \(\gamma\) gegen den Uhrzeigersinn um die Polstelle \(p\) läuft (manchmal Windungszahl genannt), und \(\mathrm{Res}_f(p)\) ist eben dieses Residuum. Nützlich für später: Das Residuum für einfache Polstellen \(p\) ist einfach berechenbar, in dem Fall gilt \(\mathrm{Res}_f(p)=\lim\limits_{z\to p}(z-p)f(z)\).

Soviel zum Hintergrund, wir rechnen mal die Aufgabe. Was ich hier mache, ist ein Standardverfahren, das jeder Studi, der in komplexer Analysis aufgepasst hat, als ersten Ansatz wählen würde. So zentral ist die Idee, die jetzt kommt.

Wir betrachten folgenden Integrationspfad \(\gamma_r\) für ein \(r>0\), über den wir \(f\) integrieren: Wir gehen auf der reellen Achse von \(-r\) nach \(+r\), und dann gehen wir über die obere komplexe Halbebene auf einem Halbkreis mit Radius \(r\) gegen den Uhrzeigersinn von \(+r\) nach \(-r\) zurück. Wenn du ein Bild zur Veranschaulichung brauchst, google mal nach "Semicircle contour integral".

Wir nennen diesen Halbkreis mal \(K_r\) und trennen das Integral mal in seine zwei Hauptbestandteile auf:

\(\int_{\gamma_r}f = \int_{K_r}f+\int\limits_{-r}^{r}f(x)\mathrm{d}x\)

Folgende Beobachtungen fallen auf, wenn \(r\) größer wird:

1. Sobald \(r>1\), wird unser Integrationspfad keine neuen Polstellen in sein Gebiet aufnehmen, sprich: \(\int_{\gamma_r}f\) ist konstant und kann mittels der Residuenformel berechnet werden, es ist ja einfach nur \(2\pi i\) mal die beiden Residuen in den Polstellen \(\frac{i\pm 1}{\sqrt{2}}\) auf der oberen komplexen Halbebene. Wenn du das ausrechnest, kommst du darauf, dass für \(r>1\) also konstant gilt: \(\int_{\gamma_r}f=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\).

2. Für \(r\to\infty\) geht \(\int_{K_r}f\) gegen \(0\). Kurz als Milchmädchenrechnung: Das liegt daran, dass der Integrationsweg proportional mit \(r\) länger wird, die Funktionswerte aber proportional zu \(1/r^4\) kleiner werden, das Integral geht also etwa wie \(1/r^3\) gegen \(0\). Präzise kannst du das argumentieren mit der "Dreiecksungleichung für Integrale".

3. Es gilt also folglich \(\lim\limits_{r\to\infty}\int\limits_{-r}^{r}f(x)\mathrm{d}x= \lim\limits_{r\to\infty}\int_{\gamma_r}f=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\).

Aus Symmetriegründen ist das gesuchte Integral einfach die Hälfte davon.

Das ganze war jetzt sehr im Detail, aber wie gesagt ein erfahrener kompetenter Studi, der mal komplexe Analysis gehört hat, sieht dieses Integral, sieht sofort dass er nur zwei Residuen zu berechnen hat, tut genau das und ist fertig. Der ganze Rest an dem, was ich geschrieben habe (zum Beispiel sehen dass dieses "Halbkreisintegral" der richtige Weg ist), ist so standard wie es nur sein kann.

Man findet im Internet auch videos zu diesem Lösungsweg (den über Residuen), aber auch Lösungen mit trickreichen Substitutionen oder unter Benutzung der Gamma-Funktion.

Danke für den Input. Das muss ich erstmal genau durchgehen, da ich erst im nächsten Wintersemester Funktionentheorie habe.

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